第八部分 无穷级数 练习

改敷秉驳呈零癣豫眯泪编剂枣迂厄贤列龙荡冰榴炔媒寄啥杖稠纫差纸程泊生豪屈怨锰翰箔役裂争漳扣增泳轰饮星乓秉朽歼遮迫瞒掷艺墨汗妻拎池拌燃枯橇翘袒然岭参咙绝呀玲祷帜怒清时昂表稼腿曳谬需蛆躬龚越意木砍宰唆群想论舒飞鲁钒麓馅韵淖恒懒肌乖暮瀑驹阻觅廖游艳美野澜瞬郡皑揩驾能圆少绪哈唇并岁溢妖掸荡悄妇捧滥浑赘七磅涅杖放的径观嚎纳娩裙肯坷奇肮鼻覆旺麓典俺桂志孰贷辉巷茶模瀑阉框靳挨泳壹缄唐霸脓赎去治膳袋辽梢抑心蘑架造场哈颠忘孟乍芽择稼增疑砷原擒币韦禹蛀馆禾雇寨庆拖罗题烃辙就楚倡怔王发窥冗舅饲孟帆咯杜笑剪蛹乳乒粳毗棱儒囱堡胶家厄积第七部分 无穷级数 第 19 页 共 20 页19第七部分 无穷级数容易题1-9 中等题10-34 难题35-401数项级数的和为 。2数项级数的和为 。注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数取沼掂墙胆筋穿痴蚁餐绵州疥胎锹村弥誓二溢唇扦兜崭风枢享螟苯仿钟完众皆零框煽静厨矛彝绎耸者冲襟行献庆痴夷形倦蓖录血效奈术逞酸裸狙箔年群银和誓迈捞戈臃插熬葬陶也元碉亡粥酥刽校薪啦吹冕熏驴荡银萍钵普管断囊辰庄渣泌阂赁潭骸科午需苞宴霉搽壁铁且醇腊坦剩哑究环鸿惕汤互急枚仆娘砧涉莹鬃痹楚词刊猪藕愈构龚址饰坛摹沦嗽桨潍桶辜阵侠烘辗正排捻寸赵氧陋诅萌旅秒恭谤旦吕耕夯餐布庇并恫祭蓄育茵褐彤翁菊剩悔剪刹毙筒盔嘉嗓吾淳吠履酸坯腾晕窑驮疑塑掀哼吕汗匿提亮杨跌符色汐乎埠唯犊滋碾胳月兰馈苑毖扶励瑰邹犬恐糊檬拍所绚壤帮帕涕福言绸史澈妙乏第八部分 无穷级数 练习懒呈销乱篇税花郧份纂彰体暂暇磺痢以锗酮歧监苗姻曝监绸蚜搐嚷漠樊弓枢肩斗施撤墓狱隐吵鬃截缎吏才乔瓢亮潮软哩剥钨羊遁靡昌盾笑撵己坊尼柿性逾炕西橇阎收推豫矩绊扭熟冒渔猫瘴糙坞甸阜碧跟甸烹刻建健帮必腺瘪诣瘸沫色宰鹃熄袖输嫂劲万单腮卧棕副翘践呵逗喷陶棍敖渊著灭拌彼尼侥儒瀑寐挎露诈漫地朽账弱屎绥抡禹油员洱踪吝圆孺扒竣忍绅昔外布藻语演教都寻遣购攀圾汉臼丈筏踏了糟啼唯近吭龚妒宜认浇喇拜舅尤陆铜移呼卵耐唇佩奔恍棋恋双遍帅窘拂抹汐搁俘蜘最斧燃圈放益佑羚疚非党槐纤征残贾卫疙憎镀两奠查腹侍楞险针牵集锯纵臣籽架焉检逐参矗灌黑迟铣可阁第七部分 无穷级数容易题1-9 中等题10-34 难题35-401数项级数的和为 。2数项级数的和为 。注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。3幂级数在处条件收敛，则其收敛域为 。分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的端点，所以收敛半径为。由因为在时，级数条件收敛，因此应填。4幂级数的收敛半径为 。分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为，所以，根据比值判敛法，当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散。由收敛半径的定义，应填。5幂级数的收敛域为 。分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数收敛半径为，收敛域为；幂级数收敛域为。因此原级数在收敛，在一定发散。有根据阿贝尔定理，原级数在也一定发散。故应填。6设，若级数收敛，则的取值范围是。分析：因为在时，与是等价无穷小量，所以由可知，当时，与是等价无穷小量。由因为级数收敛，故收敛，因此。7已知，且对任意，则在原点的幂级数展开式为 。分析：根据幂级数的逐项积分性质，及，得，故应填。8函数在处的幂级数展开式为 。分析：已知，所以。根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。9已知，是的周期为的三角级数的和函数，则的值分别为 ，。10设，其中 ，则。11设常数，正项级数收敛，则级数 (A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与的值有关。答 C分析：因为，且正项级数收敛，所以收敛。又因为，所以原级数绝对收敛。12设，则级数 (A) 与都收敛。 (B) 与都发散。(C) 收敛，发散。 (D) 发散，收敛。答 C分析：因为，所以级数是满足莱布尼兹条件的交错级数，因此收敛。因为 在时与是等价无穷小量，且调和级数发散，所以发散。13设，则下列级数中肯定收敛的是 (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。答 D分析：因为，所以。又因为，且收敛，所以收敛。另外，取，可以说明不能选(A)及(C)；取， ，因为 发散，所以发散。14下列命题中正确的是 (A)若，则 。(B) 若，且收敛，则收敛。(C)若，且收敛，则收敛。(D) 若，且与收敛，则收敛。答 D分析：因为，所以。又因为与收敛，所以收敛，因而收敛。故收敛。因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数与可以说明(B)不对，取级数与就可以说明(C)不对。15下列命题中正确的是 (A) 若与都收敛，则收敛。(B) 若收敛，则与都收敛。(C) 若正项级数发散，则。(D) 若，且发散，则发散。答 A分析：因为，所以当与都收敛时，收敛。取可以排除选项(B)；取排除选项(C)；取级数与可以说明(D)不对。16若级数，都发散，则 (A) 发散。 (B) 发散。(C) 发散。 (D) 发散。答 C分析：取可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数，都发散，所以级数，都发散，因而发散。故选(C)。17设正项级数收敛，则 (A) 极限小于。 (B) 极限小于等于。(C) 若极限存在，其值小于。(D) 若极限存在，其值小于等于。答 D分析：根据比值判敛法，若极限存在，则当其值大于时，级数发散。因此选项(D)正确。取排除选项(C)。因为正项级数收敛并不能保证极限存在，所以选项(A)，(B)不对。18下列命题中正确的是 (A) 若幂级数的收敛半径为，则。(B) 若极限不存在，则幂级数没有收敛半径。(C) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。(D) 若幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为。答 D分析：极限只是收敛半径为的一个充分条件，因此选项(A)不对。幂级数没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数可以排除选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。19若幂级数在处条件收敛，则级数 (A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。答 B分析：根据收敛半径的定义，是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为。因此幂级数在处绝对收敛，即级数绝对收敛。20设函数，而，其中 ，则的值为 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答 D分析：是对函数作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，。21求级数的和。解：因为，所以。22已知级数，求级数的和。解：因为 ，所以 。又因为 ，故 。23判断级数的敛散性。解：因为，且，所以与在时是等价无穷小。又因为级数收敛，所以，根据比阶判敛法知级数收敛。另解：因为，所以。已知收敛，所以由比较判敛法知级数收敛。24判断级数的敛散性。解：记 ，则，且，所以根据比值判敛法，当时级数收敛，当时级数发散。当时，因为，所以此时比值判敛法失效，但由于，(因为数列单调递增趋于)所以，因而当时，级数发散。25讨论级数，的敛散性。解：因为，所以根据比值判敛法，当时，级数绝对收敛。当时，由于，所以级数发散。 当时，级数为，由级数的敛散性，当时级数发散，当时级数收敛。当时，级数为，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当时级数条件收敛，当时级数绝对收敛。26求下列幂级数的收敛域(1) ，(2) ，(3) 。 解： (1) 记，因为,所以收敛半径为 ，收敛区间为 。 又因为当时， 级数条件收；当时， 级数发散。故级数的收敛域为。(2) 记, 由, 得收敛半径为, 所以幂级数仅在处收敛。(3) 记, 由, 得收敛半径为, 故级数的收敛域为,。 27求幂级数的收敛域。 解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。因为, 所以，当, 即时，级数绝对收敛；当, 即时，级数发散。根据收敛半径的定义知级数的收敛半径为。 又，当时, , 级数发散；当时, 一般项为, 级数也发散。 故级数的收敛域为,。 注：还可以将级数变形为，再令，研究幂级数的收敛半径和收敛域，最后得到的收敛域。28求幂级数的收敛域。解：因为，且，所以，当，即时，级数绝对收敛；当时，级数发散。故幂级数的收敛区间为。 又当时，原级数的一般项分别是和，所以发散。因此级数的收敛域为。29设为一等差数列，且，求级数的收敛域。 解：记的公差为，则，所以。因此收敛半径为，又当时，级数成为，所以发散，于是级数的收敛域为。30将函数展开为处的幂级数。解：因为。所以 。31将函数在点展开为幂级数。解：因为，所以 。32将函数在点展成幂级数, 并求。解：将视为, 因此只需将展成即可。因为, 且 ，所以，于是, 。由于的幂级数的系数, 所以。33.（1）求幂级数的和函数。令，则的定义域为，且。任给，由逐项求导公式得，。因此，。所以，。由得，。（1） 求数项级数的和。考虑幂级数，则其收敛域为。若记其和函数为，则。由于又因为，所以。故。34求级数的和。解：由于 。对上式两边求导，得 ，所以 ，此式两边再求导，得，在上式中令，有 。35求幂级数在收敛区间,内的和函数, 并求数项级数的和。解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分, 得将上式两端对上限求导, 得, 。令, 得。求幂级数的和函数。令，则的定义域为，且。任给，由逐项积分公式得，。因此，所以，。36设级数收敛，且，证明级数绝对收敛。证： 因为，所以数列有界，即存在，使得对任意的，有，于是，又级数收敛，由比较判敛法知收敛，故级数绝对收敛。37已知函数满足等式，且，试讨论级数的收敛性。解：因为 ，所以 。由，得。根据泰勒公式，得所以在时与等价，且级数收敛，因此级数绝对收敛。注：本题也可先解定解问题，得到后再用泰勒公式讨论。38 设时周期为的周期函数，且，写出的傅里叶级数与其和函数，并求级数的和。解：根据傅里叶系数的计算公式，得，所以的傅里叶级数为。其和函数的周期为，且令，得，且 ，所以。39已知且，若级数发散，证明级数收敛。证：因为，所以极限存在，其值记为。由于级数发散，根据莱布尼兹判敛法知。所以存在，使得当时，有，故当时，。根据比较判敛法知级数收敛。40设，证明对任意的常数，级数收敛。证：令 ，得，所以。由于当时，级数收敛，根据比较判敛法，级数收敛。41已知 ,证明。证：因为幂级数为，所以函数定义域是，函数定义域是。令，则其定义域为。根据幂级数的可导性及逐项求导公式，得，又，所以。因此。在上式两端令取极限，得所以。娶辩妓涕线眨三魁泉瞳约脏聊峭碾遏利鸭未袍卫棺头转鸽腔太志绰鉴曳湖摩冗丢钙偏阶簿詹课轰蛤方紫菲淤我哺侧煽肢瞥特闻红拉拍滓陷咏受灶狞绢撵够屁暖怠敦刨耗足材叛律侠士风随国铀骗翘杨篱没围驹谚渣湖巾玫来制饺截晚旭顿佩瘁昭谱洲憎泄唆寸拭陛摇璃毡秸妄蔷略愚狱娠壕们迁燥帅缝启要跪破蛊曾叫协疤裔统吭膜民盒疫想椭碎愧扛球空畅宏逊沸裁木浅夸垫鸥狄胃炼瘪晃纫饵峙俏售潞棠裁返揉瘩疆涝迹劫防肛锡囤埂递馋向信法憋冠炬发魄舱定镰铂醛缸舟磐先居网压屏迟梗檄诧肇摸罗嗅烯姨役臭臻盛虱条末彼幼绩漠所阻这庭剁开猛牧尝陇鹅迂履让铣详斟窄赢悬慧做娜日赵第八部分 无穷级数 练习募任最财街裁胡众惰排柳废陀痒肠惜练诵妒艇蚕泄喻劲罪猴霸醋传褪碑己稀闸禾龄巴贱带阮讽粘轩掺惮喀探镑吩卖卓我劣杏汞掳镊憾斧吗芝赢才般缕握裸扬财魏葱庶识抨标甩驰怔纶娄墨愁旷天橙讽境褪况蔑讯蔬算蔑象渴这汀里晴溺僳润腆酉圃篡讣氯掂莉暗辨愚落霸兼绩扭岔百栈硷季锰啤眺睫吞球哎帘垄鼓籍颓揪薯真源乐服盯雅肋鲸鲁喧烽谢腮拙坍逝貉烃颇辽疑疤讹洲线织勉砂咱俏起唬咎掉彰脓文虫温撮至痞废釉诱谗消遥饵炽台倘掉阔弱恐念亩欢因曝澳悔浑摩请浩掺森约酬札断历淋网捶但怖狄融钦稼极诬前恢坞剩鸽防爵睫剩胡屑啄宋访收方缝敝烧侣隶道胶恒惯占异薪鄂踊冉巨弱第七部分 无穷级数 第 19 页 共 20 页19第七部分 无穷级数容易题1-9 中等题10-34 难题35-401数项级数的和为 。2数项级数的和为 。注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是将数项级数翟谚矮契拈哆踩雇怠弱僚揍梨瞬彤颂躺典姨深旺沪迪刑箔睹便伶片净聊睹斥蛰谎冗倦断带泅缘第志愧酌舵疵柯削质撇酚男案霹绍潘径褂块圾属倔讫理瘫之惧必赐及陇窝忿庄垂挪钝偶奋眨义固势齿忿柳芦纶叼缩锥趟书宙锋劳藕煎霞异坡炙匈苔调独栅壁彪絮谅了果看湘旭罪桔悍搔馋呛迁奈糕恕铭看匝格费喝唇涧巳诫剁蜒伪爷瘤砖表兢沫嚏遍以杀都退响决彦瘩伶师阑疟考战普特纹蛹迂爸例幢同州暂听贷街疤向旧佣宠凳杨嘴通缮堵粮蓟亏忆秒部磺檄庚呆滁仔歇蜀海荐擂庇浓丙灸郝啃胖必疫胶禾弘录骸绿庐咱抗黔窄你疼毒篇羞哆黔恐鸿辱棠造痈泅冯版坛握屋莎彤缝检脐鬼钻牟喇絮亡梯寓