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精品资料章末分层突破 自我校对1(ab0)1(ab0)(±a,0)，(0，±b)或(0，±a)，(±b,0)2a2b(c,0)，(c,0)2c1(a0，b0)y±xy±xy2±2px(p0)x2±2py(p0)y±e圆锥曲线定义的应用“回归定义”解题的三点应用：应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决已知A(4,0)，B(2,2)，M是椭圆9x225y2225上的动点，求MAMB的最大值与最小值【精彩点拨】A(4,0)为椭圆的右焦点，B为椭圆内一点，画出图形，数形结合，并且利用椭圆定义转化【规范解答】如图所示，由题意，知点A(4,0)恰为椭圆的右焦点，则A关于O的对称点为A1(4,0)(左焦点)由椭圆的定义，得MAMA12a，MA2aMA1，MAMB(2aMA1)MB2a(MBMA1)|MBMA1|A1B2，即2MBMA12，又2a10，MAMB的最大值是102，最小值为102.再练一题1双曲线16x29y2144的左、右两焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1·PF264，求PF1F2的面积【解】双曲线方程16x29y2144化为1，即a29，b216，所以c225，解得a3，c5，所以F1(5,0)，F2(5,0)设PF1m，PF2n，由双曲线的定义，可知|mn|2a6，在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2，所以F1PF260°.所以SPF1F2PF1·PF2·sinF1PF2m·n·sin 60°16，所以PF1F2的面积为16.圆锥曲线的性质与标准方程1.有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解2待定系数法是求圆锥曲线标准方程的主要方法，其步骤是：(1)定位置：先确定圆锥曲线焦点的位置，从而确定方程的类型；(2)设方程：根据方程的类型，设出方程；(3)求参数：利用已知条件，求出a，b或p的值；(4)得方程：代入所设方程，从而得出所求方程求与椭圆1有相同焦点，且离心率为的椭圆的标准方程【精彩点拨】设出所求椭圆的方程，利用待定系数法求解【规范解答】因为c，所以所求椭圆的焦点为(，0)，(，0)，设所求椭圆的方程为1(ab0)，因为e，c，所以a5，所以b2a2c220，所以所求椭圆的方程为1.再练一题2设双曲线1(b>a>0)的焦半距长为c，直线l过点A(a,0)，B(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_. 【导学号：09390066】【解析】如图，在OAB中，OAa，OBb，OEc，ABc.由于AB·OEOA·OB，c·cab，(a2b2)ab，两边同时除以a2，得20，或(舍去)e2.【答案】2求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程的方法有直接法、定义法、代入法和参数法，首先看动点是否满足已知曲线的定义，若符合，就可以直接利用已知曲线的方程，结合待定系数法求解；若动点满足的条件比较明了、简单，我们就使用直接法；若动点满足的条件不明了，但与之相关的另一点在已知的曲线上，我们就使用代入法；若动点的坐标之间没有什么直接关系，就需要引入参数，使用参数法设圆(x1)2y21的圆心为C，过原点作圆的弦OA，求OA中点B的轨迹方程【精彩点拨】画出图形，分别利用直接法，定义法，代入法，交轨法(参数法)求解【规范解答】法一(直接法)：设B点坐标为(x，y)，由题意，得OB2BC2OC2，如图所示：即x2y2(x1)2y21，即OA中点B的轨迹方程为2y2(去掉原点)法二(定义法)：设B点坐标为(x，y)，由题意知，CBOA，OC的中点记为M，则MBOC，故B点的轨迹方程为2y2(去掉原点)法三(代入法)：设A点坐标为(x1，y1)，B点坐标为(x，y)，由题意得即又因为(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21.即2y2(去掉原点)法四(交轨法)：设直线OA的方程为ykx，当k0时，B为(1,0)；当k0时，直线BC的方程为y(x1)，直线OA，BC的方程联立，消去k即得其交点轨迹方程y2x(x1)0，即2y2(x0,1)，显然B(1,0)满足2y2，故2y2(去掉原点)即为所求再练一题3若动点P在曲线y2x21上移动，求点P与Q(0，1)连线中点M的轨迹方程【解】设P(x0，y0)，中点M(x，y)，则又P(x0，y0)在曲线y2x21上，2y12(2x)21，即y4x2.点M的轨迹方程为y4x2.直线与圆锥曲线的位置关系1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：>0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；<0直线与圆锥曲线无交点2直线l截圆锥曲线所得的弦长AB或，其中k是直线l的斜率，(x1，y1)，(x2，y2)是直线与圆锥曲线的两个交点A，B的坐标，且(x1x2)2(x1x2)24x1x2，x1x2，x1x2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出如图21所示，O为坐标原点，过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y22x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点图21(1)写出直线l的方程；(2)求x1x2与y1y2的值；(3)求证：OMON.【精彩点拨】设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，利用根与系数的关系求解【规范解答】(1)过点P(2,0)且斜率为k的直线方程为yk(x2)(2)把yk(x2)代入y22x，消去y得k2x2(4k22)x4k20，由于直线与抛物线交于不同两点，故k20且(4k22)216k416k24>0，x1x24，x1x24，M，N两点在抛物线上，y·y4x1x216，而y1y2<0，y1y24.(3)(x1，y1)，(x2，y2)，·x1x2y1y2440，OMON.再练一题4求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆1所截线段的中点坐标【解】过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线y(x3)代入椭圆C的方程，得1，即x23x80，x1x23，(x1x26)，即中点坐标为.圆锥曲线的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题的三种解决方法有：(1)平面几何法：主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解(2)目标函数法：建立目标函数，解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值的方法确定最值(3)判别式法：对二次曲线求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程【精彩点拨】【规范解答】(1)由得5x22mxm210.因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2(m21)所以d，所以当m0时，d最大，此时直线方程为yx.再练一题5.如图22，已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若AF4，求点A的坐标；(2)求线段AB长的最小值图22【解】(1)抛物线y24x的准线方程为x1，设A(x1，y1)，则由抛物线的定义，可知AFx114，x13，代入y24x中，得y4×3，即y1±2，故A点的坐标为(3，±2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，ABx1x2p44；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时AB4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.函数与方程的思想1.在解析几何中，已知某些点或直线在运动变化，这就会引出一些相互制约的量，它们之间可能构成函数关系，利用函数思想来处理这类问题是常用的方法，如解析几何中的最值问题、参数取值范围问题都可用函数思想来处理2由于在解析几何中大多数题目都是以方程的形式给出直线和圆锥曲线，因此可用方程思想讨论直线与圆锥曲线的位置关系问题一般是将直线方程代入圆锥曲线方程，消去一个未知数，转化为关于x(或y)的一元二次方程，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)进而去解决与“距离”“中点”有关的问题点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值【精彩点拨】(1)由PAPF得P点的轨迹方程，与椭圆方程联立，求P点的坐标(2)由M到直线AP的距离等于MB，求出M点坐标，将距离d表示成关于椭圆上点的横坐标的函数，转化为函数最值【规范解答】(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)设点P(x，y)，则kAP·kPF1.由已知可得消去y整理得2x29x180，解得x或x6(舍去)所以x，由于y0，故y.所以点P的坐标是.(2)易知直线AP的方程是xy60.设点M(m,0)，则M到直线AP的距离是.于是|m6|.又6m6，解得m2.椭圆上的点(x，y)到点M的距离的平方为d2(x2)2y2x24x420x2215.由于6x6，所以当x时，d取得最小值.再练一题6已知直线yx2和椭圆1(a>b>0)相交于A，B两点，M为AB的中点，若|AB|2，直线OM的斜率为(O为坐标原点)，求椭圆的方程. 【导学号：09390067】【解】由消去y，整理得(a24b2)x28a2x16a24a2b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.又设AB的中点M(xM，yM)，则xM，yMxM2.直线OM的斜率kOM，a24b2，从而x1x24，x1x282b2.又AB2，·2，即×2，解得b24，a24b216，故所求椭圆的方程为1.1(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_【解析】由双曲线的标准方程，知a27，b23，所以c2a2b210，所以c，从而焦距2c2.【答案】22. (2016·江苏高考)如图23，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(a>b>0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90°，则该椭圆的离心率是 _.图23【解析】将y代入椭圆的标准方程，得1，所以x±a，故B，C.又因为F(c,0)，所以，.因为BFC90°，所以·0，所以20，即c2a2b20，将b2a2c2代入并化简，得a2c2，所以e2，所以e(负值舍去)【答案】3(2015·全国卷)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_【解析】由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3,0)，F1(3，0)当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F×6×6×6×212.【答案】124(2015·天津高考)已知椭圆1(a>b>0)的左焦点为F(c,0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2y2截得的线段的长为c，FM.(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围【解】(1)由已知，有，又由a2b2c2，可得a23c2，b22c2.设直线FM的斜率为k(k>0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有222，解得k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线FM的方程为y(xc)，以上两个方程联立，消去y，整理得3x22cx5c20，解得xc或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为.由FM，解得c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立得消去y，整理得2x23t2(x1)26.又由已知，得t>，解得<x<1，或1<x<0.设直线OP的斜率为m，得m，即ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理可得m2.当x时，有yt(x1)<0，因此m>0，于是m，得m.当x(1,0)时，有yt(x1)>0，因此m<0，于是m，得m.综上，直线OP的斜率的取值范围是.
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