高考数学 复习 专题四 第2讲 数列的求和及其综合应用 专题升级训练含答案解析

专题升级训练 数列的求和及其综合应用(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.已知数列an是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则an的前5项和S5为()A.20B.30C.25D.402.(20xx山东烟台模拟,3)设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400或-503.已知Sn是非零数列an的前n项和,且Sn=2an-1,则S2 014等于()A.1-22 014B.22 014-1C.22 015-1D.22 0134.若数列an是等差数列,首项a10,a1 003+a1 0040,a1 003a1 0040成立的最大自然数n是()A.2 005B.2 006C.2 007D.2 0085.设数列an是首项为1公比为4的等比数列,把an中的每一项都减去3后,得到一个新数列bn,bn的前n项和为Sn,对任意的nN*,下列结论正确的是()A.4bn=bn+1且Sn=(4n-1)B.4bn-6=bn+1且Sn=(4n-1)C.4bn+9=bn+1且Sn=(4n-1)-3nD.4bn-9=bn+1且Sn=(4n-1)-3n6.(20xx北京东城模拟,7)对于函数y=f(x),部分x与y的对应关系如下表:x123456789y745来源:813526来源:数列xn满足x1=2,且对任意nN*,点(xn,xn+1)都在函数y=f(x)的图象上,则x1+x2+x3+x4+x20xx+x20xx的值为()A.9 394B.9 380C.9 396D.9 400二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.在等差数列an中,首项a1=0,公差d0,若ak=S6,则k的值为.来源:数理化网8.已知数列an满足a1=,且对任意的正整数m,n都有am+n=aman,则数列an的前n项和Sn=.9.对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,an的“差数列”的通项为2n,则数列an的前n项和Sn=.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)在数列an中,a1=,若函数f(x)=x3+1在点(1,f(1)处切线过点(an+1,an).(1)求证:数列为等比数列;(2)求数列an的通项公式和前n项和公式Sn.11.(本小题满分15分)已知函数f(x)=,数列an满足a1=1,an+1=f,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(n2),b1=3,Sn=b1+b2+bn,若Sn0,a1 003+a1 0040,a1 003a1 0040,a1 0040,a1+a2 007=2a1 0040,S2 007=2 007a1 0040,最大自然数n是2 006.5.C解析:由已知得bn=4n-1-3,故有4bn+9=4(4n-1-3)+9=4n-3=bn+1,Sn=(1+4+42+4n-1)-3n=(4n-1)-3n.6.A解析:由题意得,x1=2,x2=4,x3=8,x4=2,数列的周期为3,故x1+x2+x3+x4+x2 012+x2 013=671(x1+x2+x3)=67114=9 394.7.168.2-解析:令m=1,则an+1=a1an,数列an是以a1=为首项,为公比的等比数列,Sn=2-.9.2n+1-2解析:an+1-an=2n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+22+2+2=+2=2n.Sn=2n+1-2.10.解:(1)证明:因为f(x)=3x2,所以切线的斜率为k=3,切点(1,2),切线方程为y-2=3(x-1)3x-y-1=0.又因为过点(an+1,an),所以3an+1-an-1=0,即3an+1=an+1,所以3an+1-=an-3=an-,即数列为一等比数列,公比q=.(2)由(1)得为一公比为q=,首项为a1-的等比数列,则an-.an=,Sn=.11.解:(1)an+1=f=an+,an是以1为首项,为公差的等差数列.an=1+(n-1)n+.(2)当n2时,bn=,又b1=3=,Sn=b1+b2+bn=+,Sn对一切nN*成立,即对一切nN*成立,又,即m2 023.最小正整数m为2 023.12.证明:由题设,Sn=na+d.(1)由c=0,得bn=a+d.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以=b1b4,即=a,化简得d2-2ad=0.因为d0,所以d=2a.因此,对于所有的mN*,有Sm=m2a.从而对于所有的k,nN*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.(2)设数列bn的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,即=b1+(n-1)d1,nN*,代入Sn的表达式,整理得,对于所有的nN*,有n3+n2+cd1n=c(d1-b1).令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的nN*,有An3+Bn2+cd1n=D.(*)在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1,从而有由,得A=0,cd1=-5B,代入方程,得B=0,从而cd1=0.即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0.若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d10.又因为cd1=0,所以c=0.