高中数学苏教版必修4学案：第2章 章末分层突破 Word版含解析

精品资料章末分层突破自我校对坐标平行四边形|a|cos 向量的线性运算向量的线性运算包括向量的加法运算、减法运算及数乘运算，其中平面向量基本定理及向量共线定理是考查的重点，解题时要结合图形灵活构造三角形或平行四边形如图2­1所示，在ABC中，点M为AB的中点，且，与相交于点E，设a，b，试以a，b为基底表示.图2­1【精彩点拨】先由C，E，M三点共线(1)，由B，E，N三点共线(1)，再由，不共线求，的值【规范解答】b，a，由N，E，B三点共线知存在实数满足(1)b(1)a.由C，E，M三点共线知存在实数满足(1)a(1)b.解得ab.再练一题1已知a(1,2)，b(3,2)，若ka2b与2a4b平行，求实数k的值【解】ka2b(k6,2k4)，2a4b(14，4)，由(ka2b)(2a4b)得(k6)×(4)(2k4)×140，解得k1.向量的数量积运算数量积的运算是向量运算的核心，利用向量的数量积可以解决以下问题：1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，平行问题abx1y2x2y10垂直问题abx1x2y1y202.求向量的模及夹角问题，(1)设a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|；(2)两向量a，b夹角的余弦(0)，cos .设向量a，b，且|4，AOB60°.(1)求|ab|，|ab|；(2)求ab与a的夹角1，ab与a的夹角2.【精彩点拨】利用|a±b|求解；利用cos 求夹角【规范解答】(1)|ab|2(ab)(ab)|a|22a·b|b|2162×4×4cos 60°1648，|ab|4，|ab|2|a|22a·b|b|216，|ab|4.(2)(ab)·a|a|2a·b164×4cos 60°24，cos 1.0°，180°，130°.(ab)·a|a|2a·b164×4cos 60°8，cos 2.20°，180°，260°.再练一题2已知cmanb，c(2，2)，ac，b与c的夹角为，b·c4，|a|2，求实数m，n的值及a与b的夹角【解】c(2，2)，|c|4，又ac，a·c0.b·c|b|c|cos |b|×4×4，|b|2，又cmanb，c2ma·cn·b·c，164n，n4.又a·cma2na·b，08m4a·b.又b·cma·bn·b2，ma·b12.由得m±，a·b±2cos ±，0，或.向量的应用平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加减运算、向量的相等、平行、数乘向量、距离、夹角和向量的数量积之间有密切的联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题；二是在物理学中的应用，主要解决力、位移、速度等问题如图2­2，在等腰直角ABC中，角C是直角，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB，求证：ADCE.图2­2【精彩点拨】欲证ADCE，即证·0.由于已有·0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系【规范解答】法一：记a，b，则ba，且a·b0，|a|b|.因为ba.(ba)aba，所以··b2a20.可得ADCE.法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设ACBC2，则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，因为D是CB的中点，则D(0,1)所以(2,1)，(2,2)又(2,0)(2,2)，所以·(2,1)·(2)×0，因此ADCE.再练一题3.如图2­3，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为，绳子所受到的拉力为F1，求：图2­3(1)|F1|，|F2|随角的变化而变化的情况(2)当|F1|2|G|时，角的取值范围(3)当|F1|2|F2|时，求角的值【解】(1)由力的平衡原理知，GF1F20，作向量F1，F2，G，则，四边形OACB为平行四边形，如图由已知AOC，BOC，|，|tan .即|F1|，|F2|G|tan ，.由此可知，当从0逐渐增大趋向于时，|F1|，|F2|都逐渐增大(2)当|F1|2|G|时，有2|G|，cos ，又.(3)当|F1|2|F2|时，2|G|tan ，sin .数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，将“数”和“形”紧密地结合起来运用数形结合思想可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题已知向量(2,0)，(2,2)，(cos ，sin )，则与夹角的范围是_【精彩点拨】结合的坐标给出点A的轨迹，并由直线与圆的知识求与夹角的范围【规范解答】建立如图所示的直角坐标系(2,2)，(2,0)，(cos ，sin )，点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆过原点O作此圆的切线，切点分别为M，N，连结CM，CN，如图所示，则向量与的夹角范围是MOB，NOB.|2，|，知COMCON，但COB.MOB，NOB，故，.【答案】再练一题4已知船在静水中的速度大小为5 m/s，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m，船垂直到达对岸用的时间为5 s，则水流速度大小为_m/s.【解析】设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船的实际速度为v3，建立如图所示的平面直角坐标系|v1|5 m/s，|v3|4 m/s，则v3(0,4)，v1(3,4)，v2v3v1(0,4)(3,4)(3,0)|v2|3 m/s，即水流的速度大小为3 m/s.【答案】31(2015·江苏高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_【解析】manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.【答案】32(2015·全国卷改编)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.【解析】方法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3,2)(7，4)方法二：(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)【答案】(7，4)3(2015·北京高考)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.【解析】2，.，()，().又xy，x，y.【答案】4(2014·江苏高考)如图2­4，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，则·的值是_图2­4【解析】由3，得，.因为·2，所以·2，即2·22.又因为225，264，所以·22.【答案】225(2016·全国卷改编)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m_.【解析】(方法1)因为a(1，m)，b(3，2)，所以ab(4，m2)因为(ab)b，所以(ab)·b0，所以122(m2)0，解得m8.(方法2)因为(ab)b，所以(ab)·b0，即a·bb232m32(2)2162m0，解得m8.【答案】86(2016·四川高考改编)在平面内，定点A，B，C，D满足|，···2，动点P，M满足|1，则|2的最大值是_图(1)【解析】法一：|，点A，B，C在以点D为圆心的圆上又···2，两两夹角相等，均为120°，如图(1)所示设圆D的半径为r，则·r·r·cos 120°2，r2.，M为PC的中点|1，点P在以点A为圆心，1为半径的圆上由上知ABC为等边三角形，边长为2.设AC的中点为O，连接DO，OM，则点B，D，O三点共线，则|3，.222·293×1×cos，3cos，3，当与同向时取等号，即|2的最大值是.法二：|，点A，B，C在以点D为圆心的圆上···2，两两夹角相等，均为120°.由·|2×cos 120°2，得|2.以D为坐标原点，DA所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图(2)所示，则B(1，)，C(1，)，A(2,0)图(2)由知M为PC的中点|1，点P在以点A为圆心，1为半径的圆上设点P的坐标为(2cos ，sin )，其中为以点A为顶点，以x轴正方向为始边逆时针旋转到AP所成的角，则M，|2.|2的最大值为.【答案】7(2016·全国卷改编)已知向量，则ABC_.【解析】因为，所以·.又因为·|·cosABC1×1×cosABC，所以cosABC.又0°ABC180°，所以ABC30°.【答案】30°8(2016·天津高考改编)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则·的值为_【解析】如图所示，.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE2EF，所以，所以.又，则··()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.【答案】9(2016·山东高考改编)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n，若n(tmn)，则实数t的值为_【解析】n(tmn)，n·(tmn)0，即tm·n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得t4.【答案】410(2016·江苏高考)如图2­5，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·4，·1，则·的值是_图2­5【解析】由题意，得·()·()()·()22|2|21，·()·()(3)·(3)9229|2|24.由得|2，|2.·()·()(2)·(2)4224|2|24×.【答案】章末综合测评(二)平面向量(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4)，F2(2，5)，F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是_【解析】F(8,0)，终点坐标为(8,0)(1,1)(9,1)【答案】(9,1)2._.【解析】原式0 .【答案】3若向量a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，若cab，则，的值分别是_【解析】cab，(1,2)(，)(，)，【答案】，4已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与向量同向的单位向量的坐标是_【解析】(3，4)，|5，e(3，4).【答案】5(2016·镇江高一检测)已知向量a(3x,1)，b(2，5)，若ab，则x_.【解析】ab，15x2，x.【答案】6若|a|1，|b|2，a·b1，则|ab|_.【解析】|a|1，|b|2，a·b1|ab|.【答案】7平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且a·b5，则向量b_.【解析】设b(x，y)，则即b.【答案】8(2016·扬州高一检测)下列5个说法：共线的单位向量是相等向量；若a，b，c满足abc时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；对任意的向量，必有|ab|a|b|；(a·b)cc(b·c)；(ab)·ca·cb·c.其中正确的是_【解析】共线也有可能反向，故不正确；若|a|0，显然不能构成三角形，故不正确；由数量积的性质知不正确；由向量加法的三角形法则知正确；由数量积的性质知正确【答案】9(2016·南京高一检测)已知a(1，n)，b(1，n)，且2ab与b垂直，则|a|等于_【解析】2ab(3，n)，(2ab)·b0，n230，n23，|a|21n24，|a|2.【答案】210已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为_【解析】ab，2×(2)(1)x0，解得x4，b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)·(bc)0，即63(2y)0，解得y4，(yx，xy)(8,8)，|8.【答案】811(2016·泰州高一检测)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是_(1)|b|1；(2)ab；(3)a·b1；(4)(4ab).【解析】如图ABC是边长为2的等边三角形由已知b2a，显然(1)(2)(3)错，(4ab)·2·|22×2×2×cos220，(4ab).【答案】(4)12如图1，非零向量a，b，且BCOA，C为垂足，若a，则_.图1【解析】ab，a·(ab)0，则.【答案】13已知向量a(6,2)，b，直线l过点A(3，1)且与向量a2b垂直，则直线l的方程为_【解析】a2b(2,3)，在l上任取一点P(x，y)，则有(a2b)，·(a2b)0，(x3，y1)·(2,3)0，2x3y90.【答案】2x3y9014已知(2,2)，(4,1)，O为坐标原点，在x轴上求一点P，使·有最小值，则P点坐标为_【解析】设P(x,0)，·(x2，2)·(x4，1)(x2)(x4)2x26x10(x3)21，当x3时，·有最小值，P(3,0)【答案】(3,0)二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)在平行四边形ABCD中，a，b，(1)如图，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.图2【解】(1)ab.ab.(2)ba，O是BD的中点，G是DO的中点，(ba)，a(ba)ab.16(本小题满分14分)已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)，xR.(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.【解】(1)若ab，则a·b(1，x)·(2x3，x)1×(2x3)x(x)0.整理得x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1×(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1,0)，b(3,0)，ab(2,0)，|ab|2.当x2时，a(1，2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2.17(本小题满分14分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值【解】(1)由题设，知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设，知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.18(本小题满分16分)设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围【解】由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)·(e1te2)0.整理得：2te(2t27)e1·e27te0.(*)|e1|2，|e2|1，e1，e260°.e1·e22×1×cos 60°1(*)式化简得：2t215t70.解得：7t.当向量2te17e2与e1te2夹角为180°时，图3设2te17e2(e1te2)(0)对比系数得，所求实数t的取值范围是.19(本小题满分16分)设作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，F1与F2的夹角为，如图3所示求：(1)F3的大小；(2)F3OF2的大小【解】(1)F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1F2F30.即F3(F1F2)|F3|F1F2|.(2)如图所示，以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系，将向量F1，F3正交分解，设MOF3，由受力平衡知即将数值代入得.于是得F3OF2.20(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin ，t)，.(1)若a，且|，求向量；(2)若向量与向量a共线，当k4，且tsin 取最大值4时，求·.【解】(1)因为(n8，t)，且a，所以8n2t0，即n82t.又|，所以5×64(n8)2t25t2，解得t±8.则n24或8，所以(24,8)或(8，8)(2)因为(ksin 8，t)，与a共线，所以t2ksin 16.又tsin (2ksin 16)sin 2k2，当k4时，10，所以当sin 时，tsin 取得最大值；由4，得k8，此时，故(4,8)，所以·8×48×032.