高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教A版选修11

（人教版）精品数学教学资料高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末检测 新人教 A 版选修 1-1一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1(2014青岛质检)双曲线x24y251 的渐近线方程为(B)Ay54xBy52xCy55xDy2 55x解析：由题意得双曲线x24y251 的渐近线方程为x24y250，即y52x，故选 B.2已知双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线方程为y43x，则双曲线的离心率为(A)A.53B.43C.54D.32解析：由ba43，得b43a.平方得b2169a2.又b2c2a2.代入，解得ca53.3(2014浙江质检)椭圆x2my21 的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(A)A.14B.12C2D4解析：由椭圆x2my21，得x2y21m1，焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，21m1，解得m14.4若抛物线y22px的焦点与椭圆x216y2121 的左焦点重合，则p的值为(D)A2B2C4D6解析：椭圆的左焦点为(2，0)，抛物线的焦点为p2，0，p23，p6.5设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF4，则点A的坐标是(B)A(2，2 2)B(1，2)C(1，2)D(2，2 2)解析：F(1，0)，设A(x0，y0)是抛物线上一点，则有y204x0.又OAAF4，(x0，y0)(1x0，y0)4，化简得，x203x040.解得x01，x04(舍去)将x01 代入抛物线方程，得y02.6曲线x210my26m1(m6)与曲线x25my29m1(5m9)的(A)A焦距相等B离心率相等C焦点相同D准线相同解析：m6，曲线x210my26m1 为焦点在x轴上的椭圆c2(10m)(6m)4，c2，2c4.又 5m9，曲线x25my29m1 为焦点在y轴上的双曲线，即y29mx2m51.c2(9m)(m5)4，c2，2c4.7(2014东三省四市联考)以椭圆x28y251 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为(D)Ay35xBy53xCy155xDy153x解析：依题意得双曲线的实轴为 2a2 852 3，焦距 2c2 84 2，bc2a283 5，因此该双曲线渐近线方程是ybax153x，故选 D.8双曲线mx2y21 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则m为(A)A14B4C4D.14解析：将双曲线方程化为标准形式，得y21x21m1.a21，b21m.根据题意，得 2b22a.即 21m4.m14.9已知两点M(2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN|MP|MNPN0，则动点P(x，y)的轨迹方程为(B)Ay28xBy28xCy24xDy24x解析：设点P(x，y)，|MN|4，|MP| （x2）2y2，又MNPN(4，0)(2x，y)4(2x)，4 （x2）2y24(2x)，化简得，y28x.10已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A(1，2)B(1，2)C2，)D(2，)解析：双曲线的渐近线方程为ybax，又倾斜角为 60的直线的斜率为 3，所以根据题意，得ba 3，即b 3a.两边平方得，b23a2.又b2c2a2，ca2.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11已知双曲线中心在原点，一个焦点的坐标为(3，0)，且焦距与虚轴长之比为 54，则双曲线的标准方程是_解析：可知焦点在x轴上，c3，又 2c2b54，5b4c12，b125.根据a2c2b2912528125，故所求的双曲线方程为x28125y2144251.答案：x28125y214425112已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，x1x2k22，故y24x.答案：y24x13(2014郴州二监)过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|10，则AB的中点P到y轴的距离等于_解析：抛物线y24x焦点为E(1，0)，准线为x1，过点A，B，P分别作准线的垂线，垂足分别为点C，D，F，PF交y轴于点H，如图所示，则PF为直角梯形ABCD的中位线，|PF|AC|BD|2|AE|BE|2|AB|25，故|PH|PF|14，即AB的中点P到y轴的距离等于4.14.ax2by21 与直线yx1 交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线斜率为22，则ab_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax21by211，ax22by221，可得：a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，从而得ab（y1y2）（y1y2）（x1x2）（x1x2）(1)2222.答案：22三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15.(12 分)已知A(2，0)、定圆M：(x2)2y225，P是圆上的动点，线段AP的垂直平分线交MP于Q，求Q的轨迹方程解析：如图，|QP|QA|，|QM|QA|QM|QP|MP|5.动点Q的轨迹是椭圆，又2a5，c2，b2a2c294，Q的轨迹方程为x2254y2941.16(12 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P32， 6，求抛物线的方程和双曲线的方程解析：依题意，设抛物线的方程为y22px(p0)，点P32， 6在抛物线上62p32.p2，所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1 上，c1，即a2b21，又点P32， 6在双曲线上，94a26b21，解方程组a2b21，94a26b21，得a214，b234，或a29b28，(舍去)所求双曲线的方程为 4x243y21.17 (14 分)已知抛物线方程为y22x， 在y轴上截距为 2 的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点若OMON，求直线l的方程解析：设直线l的方程为ykx2，由y22x，ykx2，消去x得ky22y40.直线l与抛物线相交，k0，416k0，解得k14且k0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y24k，从而x1x2y212y2224k2.OMON，x1x2y1y20，即4k24k0，解得k1 符合题意，直线l的方程为yx2.18(14 分)已知椭圆x24y291 及直线l：y32xm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解析：(1)由y32xm，x24y291，消去y，并整理得9x26mx2m280.上面方程的判别式36m236(2m28)36(m28)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得2 2m2 2.故所求实数m的取值范围为2 2，2 2(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x26m9，x1x22m289，故|AB| 1k2（x1x2）24x1x213226m9242m289133m28.当m0 时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为2 263.19(2014海淀二模)(14 分)已知椭圆G的离心率为22，其短轴两端点为A(0，1)，B(0，1)(1)求椭圆G的方程；(2)若C、D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线AC，BD与x轴分别交于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过点A，并说明理由解析：(1)由已知可设椭圆G的方程为x2a2y211(a1)由e22得e2a21a212，解得a22，所以椭圆的标准方程为x22y211.(2)设C(x0，y0)，且x00，则D(x0，y0)因为A(0，1)，B(0，1)，所以直线AC的方程为yy01x0 x1.令y0，得xMx0y01，所以Mx0y01，0.同理直线BD的方程为yy01x0 x1，求得Nx0y01，0.AMx01y0，1，ANx01y0，1，所以AMANx201y201，由C(x0，y0)在椭圆G：x22y21 上，所以x202(1y20)，所以AMAN10，所以MAN90，所以以线段MN为直径的圆不过点A.20(14 分)(2014东三省四市联考)已知圆M和圆P：x2y22 2x100 相内切，且过定点Q( 2，0)(1)求动圆圆心M的轨迹方程；(2)不垂直于坐标轴的直线l与动圆圆心M的轨迹交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点0，12 ，求AOB(O为原点)面积的最大值解析：(1)由已知|MP|2 3|MQ|，即|MP|MQ|2 3，且 23大于|PQ|，所以M的轨迹是以( 2，0)，( 2，0)为焦点，23为长轴长的椭圆，即其方程为x23y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)且过AB的直线l的方程为ykxt，代入椭圆方程得(3k21)x26ktx3t230，因为方程有两个不同的解，所以4(9k233t2)0，即 3k21t2，又因为x1x26kt3k21，所以x1x223kt3k21，y1y22t3k21，所以y1y2212x1x2201k，化简得到 3k214t，综合得 0t4，又 原 点 到 直 线 的 距 离 为d|t|k21， |AB| 1k2|x1x2| 1k24（9k233t2）3k21，化简得SABO143（4tt2），所以当t2，即k73时，SAOB取最大值32.一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1椭圆x24y21 的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2| (C)A.32B. 3C.72D42抛物线的顶点和椭圆x225y291 的中心重合，抛物线的焦点和椭圆x225y291 的右焦点重合，则抛物线的方程为(A)Ay216xBy28xCy212xDy26x3双曲线x2y2m1 的离心率大于 2的充分必要条件是(C)Am12Bm1Cm1Dm2解析：由e2ca21m11m2，m1.4已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y 3x，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为(B)A.x236y21081B.x29y2271C.x2108y2361D.x227y291解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题依题意知ba 3，c6，c2a2b2，a29，b227，所以双曲线的方程为x29y2271.5(2013惠州一调)已知实数 4，m，9 构成一个等比数列，则圆锥曲线x2my21 的离心率为(C)A.306B. 7C.306或 7D.56或 7解析：因 4，m，9 成等比数列，则m236，m6.当m6 时圆锥曲线为椭圆x26y21，其离心率为306；当m6 时圆锥曲线为双曲线y2x261，其离心率为 7，故选 C.6在y2x2上有一点P，它到A(1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是(B)A(2，1)B(1，2)C(2，1)D(1，2)解析：如图所示，直线l为抛物线y2x2的准线，F为其焦点，PNl，AN1l，由抛物线的定义知，|PF|PN|，|AP|PF|AP|PN|AN1|，当且仅当A，P，N三点共线时取等号，P点的横坐标与A点的横坐标相同即为 1，则可排除 A、C、D 项，故选 B.7已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为(C)A.x22y21B.x23y221C.x24y231D.x25y241解析：依题意可设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，则A1，b2a，B1，b2a，又|AB|b2ab2a2b2a3，2b23a.又a2b2c21，a2，b 3.故C的方程为x24y231.8(2013新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24 2x的焦点，P为C上一点，若|PF|4 2，则POF的面积为(C)A2B2 2C2 3D4解析：设P(a，b)为抛物线上在第一象限内的点，则a 24 2，得a3 2，因为点P(a，b)在抛物线上，所以b2 6，所以SPOF12 22 62 3，故选 C.9动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20 相切，则动圆必过点(B)A(4，0)B(2，0)C(0，2)D(0，2)解析：直线x20 是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2，0)10 已知F是抛物线y14x2的焦点，P是该抛物线上的动点， 则线段PF中点的轨迹方程是(C)Ax2y12Bx22y116Cx22y1Dx22y2解析：由y14x2x24y，焦点F(0，1)，设PF中点Q(x，y)、P(x0，y0)，则2x0 x0，2y1y0，4y0 x20，x22y1.11椭圆x225y291 上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是(C)A(5，0)或(5，0)B.52，3 32或52，3 32C(0，3)或(0，3)D.5 32，32 或5 32，32解析：|PF1|PF2|2a10，|PF1|PF2|PF1|PF2|2225.当且仅当|PF1|PF2|5 时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选 C.12已知F1，F2是双曲线x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若|PF2|2|PF1|的最小值为 8a，则该双曲线的离心率的取值范围是(C)A(1，3)B(1，2)C(1，3D(1，2解析：|PF2|2|PF1|（|PF1|2a）2|PF1|PF1|4a2|PF1|4a8a，当|PF1|4a2|PF1|，即|PF1|2a时取等号又|PF1|ca，2aca.c3a，即e3.双曲线的离心率的取值范围是(1，3二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将正确答案填在题中的横线上)13 抛物线y28x上一个点P(P在x轴上方)到焦点的距离是8， 此时P点的坐标是_答案：(6，4 3)14与椭圆x24y231 具有相同的离心率且过点(2，3)的椭圆的标准方程是_答案：x28y261 或3y2254x225115 若直线y32x与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的交点在实轴上的射影恰好为双曲线的焦点，则双曲线的离心率是_答案：216 抛 物 线y2x上 存 在 两 点 关 于 直 线ym(x 3) 对 称 ， 则m的 范 围 是_解析：设抛物线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线ym(x3)对称，A，B中点M(x，y)，则当m0 时，有直线y0，显然存在点关于它对称当m0 时，y21x1，y22x2y1y2x1x21y1y212y1m，所以ym2，所以M的坐标为(52，m2)，M在抛物线内，则有52(m2)2，得 10m 10且m0，综上所述，m( 10， 10)答案：( 10， 10)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为 12，离心率为54；(2)顶点间的距离为 6，渐近线方程为y32x.解析：(1)焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为x2a2y2b21.由题意，得2b12，ca54，b2c2a2.解得a8，b6，c10.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为x264y2361.(2)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的方程为x2a2y2b21由题意，得2a6，ba32.解得a3，b92.所以焦点在x轴上的双曲线的方程为x29y28141.同理可求当焦点在y轴上双曲线的方程为y29x241.故所求双曲线的方程为x29y28141 或y29x241.18(12 分) 已知椭圆C的焦点F1(2 2，0)和F2(2 2，0)，长轴长为 6，设直线yx2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标解析：由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中c2 2，a3，从而b1，所以其标准方程是x29y21.联立方程组x29y21，yx2，消去y得，10 x236x270.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB线段的中点为M(x0，y0)，那么：x1x2185，x0 x1x2295.所以y0 x0215.也就是说线段AB的中点坐标为95，15 .19 (12 分)中心在原点， 焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2， 且|F1F2|2 13，椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为 4，离心率之比为 37.求这两条曲线的方程解析：设椭圆的方程为x2a21y2b211，双曲线的方程为x2a22y2b221，半焦距c 13，由已知得：a1a24，ca1ca237，解得：a17，a23.所以：b2136，b224，故所求两条曲线的方程分别为：x249y2361 ，x29y241.20. (12 分)已知动点P与平面上两定点A( 2，0)、B( 2，0)连线的斜率的积为定值12.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1 与曲线C交于M、N两点，当|MN|4 23时，求直线l的方程解析：(1)设点P(x，y)，则依题意有yx 2yx 212，整理得x22y21.由于x 2，所以求得的曲线C的方程为x22y21(x 2)(2)联立方程组x22y21，ykx1，消去y得：(12k2)x24kx0.解得x10,x24k12k2(x1，x2分别为M，N的横坐标)由|MN| 1k2|x1x2| 1k2|4k12k2|432，解得：k1.所以直线l的方程xy10 或xy10.21(12 分)设椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)，抛物线C2：x2byb2.(1)若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；(2)设A(0，b)，Q3 3，54b，又M，N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为B0，34b，且QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程解析：(1)由已知椭圆焦点(c，0)在抛物线上，可得c2b2，由a2b2c22c2，有c2a212e22.(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设M(x1，y1)，N(x1，y1)(x10)，由AMN的垂心为B，有BMAN0 x21y134b(y1b)0由点N(x1，y1)在抛物线上，x21by1b2，解得y1b4，或y1b(舍去)，故x152b，M52b，b4 ，N52b，b4 ，得QMN重心坐标3，b4 .由重心在抛物线上得 3b24b2，b2，M 5，12 ，N5，12 ，又M，N在椭圆上，得a2163，椭圆方程为x2163y241，抛物线方程为x22y4.22(12 分)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率e63.过点A(0，b)和B(a，0)的直线与原点的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(1，0)，若直线ykx2(k0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由解析：(1)直线AB方程为：bxayab0.依题意ca63，aba2b232，解得a 3，b1.椭圆方程为x23y21.(2)假若存在这样的k值，由ykx2，x23y230，得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x212k13k2，x1x2913k2.而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1，0)，当且仅当CEDE时，则y1x11y2x211.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k76.经验证k76使成立综上可知，存在k76，使得以CD为直径的圆过点E.