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第三讲分类讨论思想思想方法解读 考点由概念、法则、公式引起的分类讨论典例1(1)20xx福建高考若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_解析因为f(x)所以当x2时，f(x)4；又函数f(x)的值域为4，)，所以解得10，因为Sn()2(n2)，所以，即数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以n，所以Snn2a1，所以当n2时，anSnSn1n2a1(n1)2a1(2n1)a1，当n1时，适合上式，所以bn1122，所以Tn2n22n22n.答案四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标第二步：根据公式、定理确定分类标准运用公式、定理对分类对象进行区分第三步：分类解决“分目标”问题对分类出来的“分目标”分别进行处理第四步：汇总“分目标”将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理【针对训练1】在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即5(a12d)a1(2a12d2)2d23d40，解得d1或d4，所以ann11或an4n6.(2)设数列an前n项和为Sn，因为d0，所以d1，ann11，则由an0，即n110得n11.所以当n11时，an0，n12时，an0(x0)，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0，从而或又bca，所以或设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.1变量或参数变化时常见的分类讨论(1)解含参数的不等式时，常按参数的取值不同分类讨论(2)平面解析几何中，直线点斜式中按斜率k存在和不存在，直线截距式中按截距b0和b0分类讨论2利用分类讨论思想的注意点(1)分类讨论要标准统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重不漏，最后将讨论结果归类合并，其中级别与级别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交集、并集，还是既不取交集也不取并集只是分条列出【针对训练2】20xx四川高考设函数f(x)ax2aln x，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)e1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解(1)f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0，有x.此时，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令g(x)，s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时，s(x)0，所以s(x)在区间(1，)内单调递增又由s(1)0，有s(x)0，从而当x1时，g(x)0.当a0，x1时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f0，所以此时f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1，)内单调递增又h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立综上，a.考点根据图形位置或形状分类讨论典例320xx广东高考已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：yk(x4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆C1的标准方程为(x3)2y24，圆心坐标为C1(3,0)(2)由垂径定理知，C1MAB，故点M在以OC1为直径的圆上，即2y2.故线段AB的中点M的轨迹C的方程是2y2在圆C1：(x3)2y24内部的部分，设AB方程为yk1x，当AB与圆C1相切时(k1)x26x50，由3645(k1)0得k1，代入方程组得x，因此x.即2y2.(3)联立解得不妨设其交点为P1，P2，设直线L：yk(x4)所过定点为P(4,0)，则kPP1，kPP2.当直线L与圆C相切时，解得k.故当k时，直线L与曲线C只有一个交点六类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等【针对训练3】(1)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或 B.或2C.或2 D.或答案A解析不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e.若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.(2)已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k()A B.C0 D或0答案D解析不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线ykx1与直线x0或y2x垂直时才满足结合图形可知斜率k的值为0或.
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