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第一讲函数与方程思想思想方法解读 考点求最值或参数的范围典例120xx山东高考设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0,1C. D1，)解析由题意知，f(a)由f(a)1，解得a.所以f(f(a)故当a时，方程f(f(a)2f(a)化为9a423a1，即18a823a.如图，分别作出直线y18x8与函数y23x8x的图象，根据图象分析可知，A点横坐标为，故a不符合题意当a0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln aln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)考点解决图象交点或方程根等问题典例2已知函数f(x)x22ext1，g(x)x(x0)，其中e表示自然对数的底数(1)若g(x)m有实根，求m的取值范围；(2)确定t的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解(1)解法一：因为x0，所以g(x)x22e，等号成立的条件是xe.故g(x)的值域是2e，)，因而只需m2e，g(x)m就有实根解法二：作出g(x)x(x0)的图象，如图所示，观察图象可知g(x)的最小值为2e，因此要使g(x)m有实根，则只需m2e.解法三：由g(x)m，得x2mxe20，此方程有大于0的根，故等价于故m2e.(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点因为f(x)x22ext1(xe)2t1e2，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xe，开口向下，最大值为t1e2.由题意，作出g(x)x(x0)及f(x)x22ext1的大致图象，如图所示故当t1e22e，即te22e1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根所以t的取值范围是(e22e1，)解决图象交点及方程根问题的方法函数图象的交点、函数零点、方程的根三者之间可互相转化，解题的宗旨就是函数与方程的思想即方程的根可转化为函数零点、函数图象的交点，反之函数零点、函数图象交点个数问题也可转化为方程根的问题【针对训练2】已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，则方程f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为()A5 B6C7 D8答案C解析g(x)2，由题意知函数f(x)的周期为2，则函数f(x)，g(x)在区间5,1上的图象如图所示：由图象知f(x)、g(x)有三个交点，故方程f(x)g(x)，在x5,1上有三个根xA、xB、xC，且xB3，2，xAxC4，xAxBxC7.考点函数与方程思想在不等式中的应用典例3设函数f(x)cos2xsinxa1，已知不等式1f(x)对一切xR恒成立，求a的取值范围解f(x)cos2xsinxa11sin2xsinxa12a.因为1sinx1，所以当sinx时，函数有最大值f(x)maxa，当sinx1时，函数有最小值f(x)mina2.因为1f(x)对一切xR恒成立，所以f(x)max且f(x)min1，即解得3a4，所以a的取值范围是3,4不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数【针对训练3】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_答案(，3)(0,3)解析设F(x)f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，即F(x)在R上为奇函数又当x0，所以x0时，F(x)也是增函数因为F(3)f(3)g(3)0F(3)所以，由图可知F(x)1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意有，即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6.数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法形式结构与函数(方程)类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题【针对训练4】20xx东城模拟已知数列an是各项均为正数的等差数列(1)若a12，且a2，a3，a41成等比数列，求数列an的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列an的前n项和为Sn，设bn，若对任意的nN*，不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1)因为a12，aa2(a41)，又因为an是正项等差数列，故公差d0，所以(22d)2(2d)(33d)，解得d2或d1(舍去)，所以数列an的通项公式an2n.(2)因为Snn(n1)，bn，令f(x)2x(x1)，则f(x)2，当x1时，f(x)0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函数，故当x1时，f(x)minf(1)3，即当n1时，(bn)max，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max，所以实数k的最小值为.考点函数与方程思想在解析几何中的应用典例520xx陕西高考已知椭圆E：1(ab0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程解(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率.(2)解法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，圆心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由x1x24，得4，解得k.从而x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.解法二：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2.依题意，点A，B关于圆心M(2,1)对称，且|AB|.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y4b2, x4y4b2，两式相减并结合x1x24，y1y22，得4(x1x2)8(y1y2)0.易知AB与x轴不垂直，则x1x2，所以AB的斜率kAB.因此直线AB的方程为y(x2)1，代入得x24x82b20.所以x1x24，x1x282b2.于是|AB| |x1x2|.由|AB|，得 ，解得b23.故椭圆E的方程为1.函数与方程思想在解析几何中的应用(1)利用方程求椭圆离心率的方法第一步：设椭圆的标准方程1.第二步：转化几何、向量、三角等关系为数量关系第三步：利用方程思想建立a、b、c的关系式构建离心率e或e(ab0)(2)解析几何中的最值问题解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决(3)解析几何中的范围问题的解题步骤第一步：联立方程第二步：求解判别式.第三步：代换利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换第四步：下结论将上述等量代换式代入0或0中，即可求出目标参数的取值范围第五步：回顾反思在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节【针对训练5】已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，记QF2M的面积为S1，OF2N的面积为S2，令SS1S2，求S的最大值解(1)由题意知e，所以e2，即a22b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2y2b2，且与直线xy20相切，所以b，所以a24，b22，故椭圆C的标准方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线OQ：xmy，则直线MN：xmy，由得(m22)y22my20，y1y2，y1y2.所以|MN|y2y1| ，因为MNOQ，所以QF2M的面积等于OF2M的面积，SS1S2SO MN，因为点O到直线MN：xmy的距离d，所以S|MN|d.令 t，则m2t21(t1)，S，因为t22(当且仅当t，即t1，也即m0时取等号)，所以当m0时，S取得最大值.考点函数与方程思想在平面向量中的应用典例6已知e1，e2是单位向量，e1e2.若向量b满足be12，be2，且对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，则x0_，y0_，|b|_.解析问题等价于|b(xe1ye2)|当且仅当xx0，yy0时取到最小值1，即|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y24x5yxy在xx0，yy0时取到最小值1，又|b|2x2y24x5yxyx2(y4)xy25y|b|22(y2)27|b|2，所以解得答案122函数与方程思想在平面向量中的应用策略平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题其一般的解题要点如下：(1)向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等，结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)(2)代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质来求解问题(3)得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论【针对训练6】已知e1，e2是平面两个相互垂直的单位向量，若向量b满足|b|2，be11，be21，则对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|的最小值为_答案解析|b(xe1ye2)|2b2x2ey2e2xbe12ybe22xye1e2|b|2x2y22x2y(x1)2(y1)222，当且仅当x1，y1时，|b(xe1ye2)|2取得最小值2，此时|b(xe1ye2)|取得最小值，故填.
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