高考数学 兵法10招2就地取材无中生有

数学高考10招（2） 就地取材 无中生有计名释义这一招是专门对付开放题的.开放题有两种类型：一是开放条件；二是开放结论.条件开放的试题，结论明确、解题方向清楚，但条件不足，也就是条件不充分，属于“必要不充分”的题型，我们的任务是补充能使结论成立的充分条件.反之，结论开放的试题，条件充分，但结论不明确.我们的任务则是补充必要条件.典例示计【例1】以下是武汉市某次高中调考中的一道数列题：等差数列的前n项和为Sn，若（a1+a3）2=9，an0（），则S10等于（ ）这道题从正面解，你会发现无论走哪条路，都“差条件”，陷入欲进不得，欲罢不忍的困境.可是，你是否想到，也可以把选项作条件来用呢？【解析】由于时恒有an0，必S100，排除A、C；设若S10= -13，即有10a1+109d=-13，那么a1+d=. （1）但由（a1+a3）2=9，an0可得a1+a3= -3，也就是a1+ d= （2）（1）-（2）：d=，于是d0，这与时恒有an0矛盾，故排除D，选B.本解使用的，正是“就地取材”的计策.如果你感到题干中的“条件不够”，陷入“山穷水复疑无路”的困境，不妨在选项中就地发现“柳暗花明又一村”.那么，什么又是“无中生有”呢？请看【例2】06年湖南卷的文科10题：如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则实数对（x，y）可以是 （ ）【解析】如图，设向量OP符合要求.过P作PA1AB，交OA于A1，OB于B1，令，显然0k1.再令，点P在A1B1的延长线上，必1.于是.于是.由（1）知x0，排除A；由（1）+（2）得：x+y=k（0，1），排除B，D，选C.为了解题的需要，我们不仅添加了辅助线，还引入了k，这些参变量，这都是“无中生有”；又为了免除繁杂的计算，我们又在选项中“就地取材”. 再请看【例3】06年湖南卷的理科15题：如图，OMAB，点P在由射线OM，线段OB几AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP=x0A+yOB，则x的取值范围是当时，y的取值范围是【解析】同上题解法，得： 由于k（0，1）且1，x0.即当时，x+y=k，y=k-x=k+（）.【评注】咋一看湖南这两道题，的确有“树高荫深，叫樵夫难以下手”之感。因为仅凭现有图形，是无论如何也难以找到正确答案的。唯一可行之路，就是“无中生有”了，于是笔者按要求随意画一条向量（即解图中的OP）试试看，又想到关于向量的问题多能用平移解决，在作出平行线PA1后，已是豁然开朗，成竹在胸了.这难道不是“无中生有”的神奇麽？例4题图【例4】如图所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足条件 时，就有MN平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.【思考】显然HNBD，即得HN平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1MN,只需过HN作平面，使之平行于平面在平面B1BDD1,将线面平行的问题转化为面面平行的问题.【解析】连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN平面B1BDD1证明如下：连 NH ，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P.则NH BD，HFBB1，故平面PNHF平面BB1D1D.MN平面PNHF，MN平面B1BDD1【例5】 知F(x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何xR,f(2x)=f(2+x)总成立，问f(12x2)与f(1+2xx2)满足什么条件时，才能使2x0成立.【思考】 根据已知条件很容易得到f(x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.【解答】 由题设知：函数f(x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.故函数f(x)在上是增函数；在上是减函数.12x212,1+2xx2=(x1)2+22,12x2,1+2xx2.当f(12x2)f(1+2xx2)时，12x20,解得x0,不能使2xf(1+2xx2)时，12x21+2xx2,即x2+2x0,解得2x0,符合题意，当f(12x2)=f(1+2xx2)时，可得x=2或0,不能使2xf(1+2xx2)时，才能使2x0时，对应的f(x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f(x)的三个不同的解析式.【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整.f(x)与g(x)是什么关系？我们容易由f(x)=2ax+b,知f(x)=g(x),可见，只有当g(x)=f(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f(x)的某些性质.【解答】 (1)a=1,b=2，g(x)=2x+2.（2）g(x)的一次项系数是f(x)的二次项系数与其次数的积；g(x)的常数项等于f(x)的一次项系数.(3)g(x)0，即2ax+b0,当a0时，x,而x=是f(x)的对称轴，故这时f(x)是单调增函数；a0时,x,f(x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).(4)当g(x)0),圆心O在抛物线x2=2Py上运动，MN为圆O在x轴上截得的弦，令|AM|=d1,|AN|=d2,MAN=.（1）当O运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；（2）求的最大值,并求取得最大值的的值.