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（人教版）精品数学教学资料章末复习课网络构建核心归纳1集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意2集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集解题时，已知条件中出现AB时，不要遗漏A.3集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如ABABAABB.4函数与映射的概念(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：AB.若f：AB是从A到B的映射，且B中任一元素在A中有且只有一个元素与之对应，则这样的映射叫做从A到B的一一映射(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集，函数有三要素：定义域、值域、对应关系两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一函数5函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：取值：任取x1，x2D，且x10；作差变形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；判断符号：确定y的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；下结论：根据定义得出结论(3)证明函数单调性的等价变形：f(x)是单调递增函数任意x1x2，都有f(x1)0f(x1)f(x2)(x1x2)0；f(x)是单调递减函数任意x1f(x2)0f(x1)f(x2)(x1x2)0.6函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提要点一集合的基本概念解决集合的概念问题的两个注意点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性【例1】集合Mx|ax23x20，aR中只有一个元素，求a的取值范围解由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个根，当a0时，方程为3x20，只有一个根x；当a0时，(3)24a(2)0，得a.综上所述，a的取值范围是.【训练1】已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_解析因为3A，则m23或2m2m3，当m23，即m1时，m22m2m，不符合题意，故舍去；当2m2m3，即m1或m，m1不合题意，若m，m22m2m，满足题意，故m.答案要点二集合间的基本关系两集合间关系的判断(1)定义法判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合法对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取值【例2】已知集合Ax|2x33x5，Bx|x2m1，若AB，则实数m的取值范围是_解析解不等式2x33x5得x8，即Ax|x8，因为AB，所以2m18，解得m.答案m【训练2】已知集合Ax|，xR，B1，m，若AB，则m的值为()A2B1C1或2D2或解析由，可得解得x2，A2，又B1，m，AB，m2.答案A考查方向要点三集合的基本运算集合基本运算的方法及注意点(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集方向1集合的运算【例31】设全集UxN*|xa，若AB，则实数a的取值范围是()Aa1Ba1Ca0Da0解析(1)由ABA知BA，所以m3或m，若m3，A1,3，B1,3，满足ABA；若m，即m1或0，当m1时，1，不合题意，舍去，当m0时，A1,3,0，B1,0，满足ABA，故选B(2)因为AB，所以0B，且1B，所以a1.答案(1)B(2)B【训练3】(1)已知集合AxR|x|2，BxR|x1，则AB等于()AxR|x2BxR|1x2CxR|2x2DxR|2x1(2)设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_解析(1)AxR|x|2xR|2x2，ABxR|2x2xR|x1xR|2x1(2)因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.答案(1)D(2)k6要点四求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3)复合函数问题：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域注意：f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围【例4】(1)函数f(x)(2x1)0的定义域为()ABCD(2)已知函数yf(x1)的定义域是1,2，则yf(13x)的定义域为()ABC0,1D解析(1)由题意知解得x1且x，即f(x)的定义域是.(2)由yf(x1)的定义域是1,2，则x12,1，即f(x)的定义域是2,1，令213x1解得0x1，即yf(13x)的定义域为0,1答案(1)D(2)C【训练4】已知函数f(x)2x3的值域为5,5，则它的定义域为()A5,5B7,13C1,4D4,1解析可以画出函数y2x3的图象，再根据图象来求；还可以运用观察法来求，当f(x)5时，x4；当f(x)5时，x1，所以定义域为1,4答案C要点五求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法)(3)含f(x)与f(x)或f(x)与f，使用解方程组法(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法【例5】(1)已知f(2x3)2x23x，则f(x)_.(2)已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)_.解析(1)令2x3t，得x(t3)，则f(t)2(t3)2(t3)t2t，所以f(x)x2x.(2)因为f(x)3f(x)2x1，以x代替x得f(x)3f(x)2x1，两式联立得f(x)x.答案(1)x2x(2)x【训练5】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式解设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17，不论x为何值都成立，所以解得所以f(x)2x7.要点六函数的概念与性质函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围【例6】 已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，.比较得nn，n0.又f(2)，解得m2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在2，1上为增函数，f(x)maxf(1)，f(x)minf(2).【训练6】设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)，f(x)在(，0)上单调递增，且f(2a2a1)0，2a24a32(a1)210，由f(2a2a1)2a24a3，得5a2，a.a的取值范围是a.要点七函数的图象及应用作函数图象的方法(1)描点法求定义域；化简；列表、描点、连线(2)变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转平移：yf(x) yf(xh)；yf(x) yf(x)k.(其中h0，k0)对称：yf(x)yf(x)；yf(x)yf(x)；yf(x) yf(x)特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图【例7】已知函数f(x)x22|x|a，其中x3,3(1)判断函数f(x)的奇偶性(2)若a1，试说明函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)的值域解(1)因为定义域3,3关于原点对称，f(x)(x)22|x|ax22|x|af(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数(2)当0x3时，f(x)x22x1(x1)22；当3x0时，f(x)x22x1(x1)22.即f(x)根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示函数f(x)的单调区间为3，1，(1,0)，0,1，(1,3f(x)在区间3，1，0,1上为减函数，在(1,0)，(1,3上为增函数当0x3时，函数f(x)(x1)22的最小值为f(1)2，最大值为f(3)2；当3x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为f(1)2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为2,2【训练7】对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_解析首先应理解题意，“函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一个如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.答案2
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