人教版 高中数学 第二章2.4正态分布

人教版高中数学精品资料 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布正态分布 A 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1设随机变量设随机变量 XN(1，22)，则则 D 12X ( ) A4 B2 C.12 D1 解析：解析：因为因为 XN(1，22)，所以所以 D(X)4. 所以所以 D 12X 14D(X)1. 答案：答案：D 2设两个正态分布设两个正态分布 N(1，21)(10)和和 N(2，22)(20)的密度的密度函数图象如图所示函数图象如图所示，则有则有( ) A12，12 B12，12 C12，12 D12，12 解析：解析： 反映的是正态分布的平均水平反映的是正态分布的平均水平，x 是正态密度曲线是正态密度曲线的对称轴的对称轴，由图可知由图可知 12； 反映的正态分布的离散程度反映的正态分布的离散程度， 越大越大，越分散越分散，曲线越曲线越“矮胖矮胖”， 越小越小，越集中越集中，曲线越曲线越“瘦高瘦高”，由由题图可知题图可知 12. 答案：答案：A 3(2015 山东卷山东卷)已知某批零件的长度误差已知某批零件的长度误差(单位：毫米单位：毫米)服从正服从正态分布态分布 N(0，32)，从中随机取一件从中随机取一件，其长度误差落在区间其长度误差落在区间(3，6)内的内的概率为概率为( ) 附：若随机变量附：若随机变量 服从正态分布服从正态分布 N(，2)，则则 P()68.26%，P(22)95.44% A4.56% B13.59% C27.18% D31.74% 解析：解析：由正态分布的概率公式知由正态分布的概率公式知 P(33)0.682 6，P(66)0.954 4，故故 P(36)P（66）P（33）20.954 40.682 620.135 913.59%. 答案：答案：B 4在某项测量中在某项测量中，测量结果测量结果 服从正态分布服从正态分布 N(1，2)(0)若若 在在(0，1)内取值的概率为内取值的概率为 0.4，则则 在在(0，2)内取值的概率为内取值的概率为( ) A0.9 B0.5 C0.6 D0.8 解析：解析：因为因为 服从正态分布服从正态分布 N(1，2)， 所以正态密度曲线所以正态密度曲线的对称轴是直线的对称轴是直线 x1， 因为因为 在在(0，1)内取值的概率为内取值的概率为 0.4， 所以根据正态曲线的性质知在所以根据正态曲线的性质知在(0，2)内取值的概率为内取值的概率为 0.8，故选故选D. 答案答案：D 5已知某批材料的个体强度已知某批材料的个体强度 X 服从正态分布服从正态分布 N(200，182)，现现从中任取一件从中任取一件， 则取得的这件材料的强度高于则取得的这件材料的强度高于 182 但不高于但不高于 218 的概的概率为率为( ) A0.997 3 B0.682 6 C0.841 3 D0.815 9 解析：解析：由题意知由题意知 200，18，182，218， 由由 P(X)0.682 6，答案应选答案应选 B. 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 6已知随机变量已知随机变量 服从正态分布服从正态分布，且落在区间且落在区间(0.2，)上的上的概率为概率为 0.5， 那么相应的正态曲线那么相应的正态曲线 f(x)在在 x_时时， 达到最高点达到最高点 解析：解析：由正态曲线关于直线由正态曲线关于直线 x 对称且其落在区间对称且其落在区间(0.2，)上的概率为上的概率为 0.5，得，得0.2. 答案：答案：0.2 7已知正态总体的数据落在区间已知正态总体的数据落在区间(3，1)里的概率和落在区里的概率和落在区间间(3，5)里的概率相等里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为那么这个正态总体的数学期望为_ 解析：解析：由题意知区间由题意知区间(3，1)与与(3，5)关于直线关于直线 x 对称对称，因因为区间为区间(3，1)和区间和区间(3，5)关于关于 x1 对称对称，所以正态分布的数学所以正态分布的数学期望为期望为 1. 答案：答案：1 8若随机变量若随机变量 N(10，2)，P(911)0.4，则则 P(11)_ 解析：解析：由由 P(911)0.4 且正态曲线以且正态曲线以 x10 为对称轴知为对称轴知， P(911)2P(1011)0.4， 即即 P(1011)0.2， 又又 P(10)0.5， 所以所以 P(11)0.50.20.3. 答案：答案：0.3 三、解答题三、解答题 9设设 XN(1，22)，试求：试求： (1)P(1X3)； (2)P(3X5) 解：解：因为因为 XN(1，22)，所以所以 1，2. (1)P(1X3)P(12X12)0.682 6. (2)因为因为 P(3X5)P(3X1)， 所以所以 P(3X5)12P(3X5)P(1X3)12P(14X14)P(12X12)12P(14X14)P(12X12)12P(2X2)P(X)12(0.954 40.682 6)0.135 9. 10.已知某地农民工年均收入已知某地农民工年均收入 (单位：元单位：元)服从正态分布服从正态分布，其密度其密度函数图象如图所示函数图象如图所示 (1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式； (2)求此地农民工年均收入在求此地农民工年均收入在 8 0008 500 元的人数百分比元的人数百分比 解：解：设农民工年均收入设农民工年均收入 N(，2)， 结合图象可知结合图象可知 8 000，500. (1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式 P(x)12e（x）2221500 2e（x8 000）225002， x(，) (2)因为因为 P(7 5008 000) P(8 0005008 000500) 0.682 6. 所以所以 P(8 0008 500)12P(7 5008 500)0.341 3， 即农民工年均收入在即农民工年均收入在 8 0008 500 元的人数占总体的元的人数占总体的 34.13%. B 级级 能力提升能力提升 1以以 (x)表示标准正态总体在区间表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率内取值的概率，若若随机变量随机变量 服从正态分布服从正态分布 N(，2)，则概率则概率 P(|)等于等于( ) A()() B(1)(1) C 1 D2() 解析：解析：设设 |，则则 P(|)P(|1)P(11)(1)(1) 答案：答案：B 2据抽样统计据抽样统计，在某市的公务员考试中在某市的公务员考试中，考生的综合评分考生的综合评分 X 服服从正态分布从正态分布 N(60，102)，考生共考生共 10 000 人人，若一考生的综合评分为若一考生的综合评分为80 分分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第_名名 解析：解析： 依题意依题意，P(6020X6020)0.954 4，P(X80)12(10.954 4)0.022 8， 故成绩高于故成绩高于 80 分的考生人数为分的考生人数为 10 0000.022 8228(人人) 所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第 229 名名 答案：答案：229 3 有一种精密零件有一种精密零件， 其尺寸其尺寸 X(单位：单位： mm)服从正态分布服从正态分布， 即即 XN(20，4)若这批零件共有若这批零件共有 5 000 个个 (1)试求这批零件中尺寸为试求这批零件中尺寸为 1822 mm 的零件所占的百分比；的零件所占的百分比； (2)若规定尺寸为若规定尺寸为 2426 mm 的零件不合适的零件不合适，则这批零件中不合则这批零件中不合适的零件大约有多少个？适的零件大约有多少个？ 解：解：(1)因为因为 XN(20，4)， 所以所以 20，2. 所以所以 18，22. 于是零件尺寸于是零件尺寸 X 为为 1822 mm 的零件所占百分比大约是的零件所占百分比大约是68.26%， (2)3203214，3203226，216，224， 所以零件尺寸所以零件尺寸 X 为为 1426 mm 的百分比大约是的百分比大约是 99.74%，而零而零件尺寸件尺寸 X 为为 1624 mm 的百分比大约是的百分比大约是 95.44%. 所以零件尺寸为所以零件尺寸为 2426 mm 的百分比大约是的百分比大约是99.74%95.44%22.15%. 5 0002.15%107.5， 因此尺寸为因此尺寸为 2426 mm 的零件大约有的零件大约有 107 个个