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第六节抛物线考纲传真1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用(对应学生用书第123页) 基础知识填充1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的集合叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF|x0x0y0y0知识拓展1抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0，也称为抛物线的焦半径2y2ax的焦点坐标为，准线方程为x.3设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)(3)以弦AB为直径的圆与准线相切(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的集合一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()ABCD0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.3抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.4(20xx大同模拟)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)5(20xx浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9设点M的横坐标为x0，则点M到准线x1的距离为x01，由抛物线的定义知x0110，x09，点M到y轴的距离为9.(对应学生用书第124页)抛物线的定义及应用(1)(20xx全国卷)已知抛物线C：y2x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8(2)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_ 【导学号：00090304】(1)A(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦点F，准线l的方程为x.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d|AF|.从而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦点F(1,0)，准线x1. 根据抛物线的定义，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又|AB|2p4为最小值故|AC|BD|的最小值为422.规律方法1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出变式训练1(1)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_(2)若抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|PF|取最小值时点P的坐标为_(1)(2)(2,2)(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|.(2)将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部，如图设抛物线上点P到准线l：x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P的坐标为(2,2)抛物线的标准方程与几何性质(1)点M(5,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()AB1CD2(1)D(2)D(1)将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0)与曲线C交于点P，且PFx轴P(1,2)，将点P(1,2)代入y，得k2规律方法1.求抛物线的标准方程的方法：(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程变式训练2(1)(20xx郑州模拟)抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为 () 【导学号：00090305】Ay26xBy28xCy216xDy2(20xx西安模拟)过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_(1)B(2)(1)设M(x，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|3，由抛物线定义知，点A到准线x1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x2代入y24x得y28，由图知点A的纵坐标为y2，所以A(2,2)，所以直线AF的方程为y2(x1)，联立直线与抛物线的方程解得或由图知B，所以SAOB1|yAyB|.直线与抛物线的位置关系角度1直线与抛物线的交点问题(20xx全国卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由 解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，2分故直线ON的方程为yx，将其代入y22px，整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.5分(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.12分规律方法1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断2(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度2与抛物线弦长或中点有关的问题(20xx泰安模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，2分(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.5分(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.6分由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.12分规律方法1.抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法3涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解
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