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第四讲转化与化归思想思想方法解读 考点特殊与一般的转化典例1(1)过抛物线yax2(a0)的焦点F，作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则等于()A2a B.C4a D.解析抛物线yax2(a0)的标准方程为 x2y(a0)焦点F，取过焦点F的直线垂直于y轴，则|PF|QF|，所以4a.答案C(2)20xx厦门模拟如图，P为椭圆1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于点D，E，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积S2，则S1S2()A1 B2C. D.解析由点P为椭圆第一象限内的任意一点，则可设点P为特殊点，易求得S1S2，故选A.答案A特殊与一般的转化步骤特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法这类转化法一般的解题步骤是：第一步，确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标第二步，寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”第三步，确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”，明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题第四步，解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题第五步，回归目标问题第六步，回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案【针对训练1】(1)20xx成都模拟在等差数列an中，已知a4a816，则该数列的前11项和S11()A58 B88C143 D176答案B解析解法一：由a4a816，可令a4a88，即数列an为常数列，易得S1188，故选B.解法二：a4a8162a6，得a68，又S1111a688，故选B.(2)已知f(x)，则f(20xx)f(20xx)f(0)f(1)f(20xx)_.答案20xx解析f(x)f(1x)1，f(0)f(1)1，f(20xx)f(20xx)1，f(20xx)f(20xx)f(0)f(1)f(20xx)20xx.考点函数、方程与不等式之间的转化典例2已知函数f(x)ex，a，bR，且a0.(1)若函数f(x)在x1处取得极值，试求函数f(x)的解析式及单调区间；(2)设g(x)a(x1)exf(x)，g(x)为g(x)的导函数若存在x0(1，)，使g(x0)g(x0)0成立，求的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)f(x)ex，由题知即解得a2，b1，所以函数f(x)ex(x0)此时f(x)exex，令f(x)0得x，令f(x)0得1x0或0x1)则u(x)6ax26ax2b6ax(x1)2b2b，当b0时，u(x)0，此时u(x)在(1，)上单调递增，因此u(x)u(1)ab.因为存在x0(1，)，使2ax3ax2bx0b0成立，所以只要ab0即可，此时10时，令u(x)b，解得x11，x2(舍去)，x30(舍去)，得u(x1)b0，又u(1)ab1，使2ax3ax2bx0b0成立，此时0.综上有的取值范围为(1，)函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围【针对训练2】已知函数f(x)3e|x|.若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，则m的最大值为_答案3解析因为当t1，)且x1，m时，xt0，所以f(xt)3exextext1ln xx.所以原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立令h(x)1ln xx(x1)因为h(x)10，所以函数h(x)在1，)上为减函数，又x1，m，所以h(x)minh(m)1ln mm.所以要使得对任意x1，m，t值恒存在，只需1ln mm1.因为h(3)ln 32ln ln 1，h(4)ln 43ln ln 1，且函数h(x)在1，)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.考点正难则反的转化典例3若对于任意t1,2，函数g(x)x3x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_解析g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒成立由得3x2(m4)x20，即m43x，当x(t,3)时恒成立，m43t恒成立，则m41，即m5；由得m43x当x(t,3)时恒成立，则m49，即m.使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为m5.答案mx2的区域内，则2，整理得(2k1)(6k22k1)0，解得k.因此当k时，抛物线yx2上存在两点关于直线yk(x3)对称，于是当k时，抛物线yx2上不存在两点关于直线yk(x3)对称所以实数k的取值范围为.故选D.考点常量与变量的转化典例4已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数若对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_解析由题意知，g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，即解得x1.故当x时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)1，即a2时，函数y2a在t0,1上单调递增，t1时，函数有最大值ymaxaa1，解得a2(舍去)；当01，即0a2时，t函数有最大值，ymaxa1，解得a或a4(舍去)；当0，即a0(舍去)，综上所述，存在实数a使得函数有最大值换元法的主要应用换元法的特点是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变为熟悉的形式高中数学中主要换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等换元法应用广泛，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有广泛的应用解题过程中要注意换元后新变量的取值范围【针对训练5】求函数f(x)24asinxcos2x的最大值和最小值解f(x)24asinx(12sin2x)2sin2x4asinx12(sinxa)212a2.设sinxt，则1t1，并且yg(t)2(ta)212a2.当a1时，如图，有y最大g(1)34a，y最小g(1)34a；当1a1时，有y最小g(a)12a2，y最大为g(1)和g(1)中的较大者，即y最大34a(1a0)，或y最大34a(01时，有y最大g(1)34a，y最小g(1)34a.
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