高数微分方程总结

1基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.全微分方程全微分方程5.5.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式待定系数法待定系数法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容6.6.伯努利方程伯努利方程2微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离降降阶阶作作变变换换作变换作变换3dxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法1 1、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换4)()(xQyxPdxdy 形形如如(3) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法5非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n6解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(4) 全微分方程全微分方程7xQyP 全全微微分分方方程程注意：注意：解法解法 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(Cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为8(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.9公式法公式法: :)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfex 则则)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 则则观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出积分因子直接找出积分因子10常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 113 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点. y不不显显含含未未知知函函数数0),()2()()1( nnyyxF 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得. 0)(),(,( xPxPxF,Py 12),(xPy 令令特点特点.x不显含自变量不显含自变量0),()3( yyyF 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得. 0),( dydpPPyF,dydpPy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如13定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如14定定理理 3 3 设设*y是是)2(的的一一个个特特解解, , Y是是与与( (2 2) )对对应应的的齐齐次次方方程程( (1 1) )的的通通解解, , 那那么么*yYy 是是二二阶阶非非齐齐次次线线性性微微分分方方程程( (2 2) )的的通通解解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .15、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.1602 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为1701)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 ik 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110 推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n18、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k19型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 iik207 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.xtextln 或或)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)，21 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.8 8、幂级数解法、幂级数解法22二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 23,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy 24.32343yxyyx 求求通通解解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32Cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程25,)(32xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解为原方程的通解为.73323731xCxy 利用常数变易法利用常数变易法26. 0324223 dyyxydxyx求求通通解解例例3 3解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程为全微分方程方程为全微分方程.27(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:,2),(3yxxuyxu 则则设设原原函函数数为为),(),(32yyxyxu ,求求导导两两边边对对 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 28(2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 29(3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 30. 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xdyydxdydxyx 31222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxCeyx 32.212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方程不显含方程不显含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211CxyCC 33. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 34代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 35, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 36).2cos(214xxyy 求求解解方方程程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 37由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 38故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy 39.)(),(1)()(2此方程的通解此方程的通解（）（）的表达式；的表达式；（）（），试求：，试求：的齐次方程有一特解为的齐次方程有一特解为，对应，对应有一特解为有一特解为设设xfxpxxxfyxpy 例例解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得40.3)(,1)(3xxfxxp （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见221, 1xyy 是是原原方方程程的的一一个个特特解解，又又xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy 41.ln5322xxyyxyx 求解方程求解方程解解例例这是一个欧拉方程这是一个欧拉方程,ln xt 令令dxdtdtdyy 则则,1tyx dxdtyxyxytt 112),(12ttyyx 代入原方程得代入原方程得,542tttteyyy (1),tex 42和和(1)对应的齐次方程为对应的齐次方程为, 054 yyytt(2)(2)的特征方程为的特征方程为, 0542 rr特征根为特征根为, 1, 521 rr(2)的通解为的通解为.251tteCeCY 设设(1)的特解为的特解为,)(2*tebaty ),22()(2*1baateyt 则则),444()(2*baateyt 43代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,99tbat , 0,91 ba,912*ttey 得得(1)的通解为的通解为.912251tttteeCeCy 故原方程的通解为故原方程的通解为.ln912251xxxCxCy 44间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例1010oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm . 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即即45解此方程得解此方程得, 1)(21)(3131 t gt geetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt46一、一、 选择题选择题: :1 1、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程)()(xQyxPy 的通的通解是解是( ).( ). (A) (A) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (B) (B) dxexQeydxxPdxxP)()()(； (C)(C) )()()(CdxexQeydxxPdxxP； (D) (D) dxxPcey)(. .2 2、方程、方程yyxyx 22是是( ).( ). (A) (A)齐次方程；齐次方程； (B) (B)一阶线性方程；一阶线性方程； (C) (C)伯努利方程；伯努利方程； (D) (D)可分离变量方程可分离变量方程 . .测测 验验 题题473 3、2)1(,022 yxdxydy的特解是的特解是( ).( ). (A) (A)222 yx； (B) (B)933 yx； (C) (C)133 yx； (D) (D)13333 yx. .4 4、方程、方程xysin 的通解是的通解是( ).( ). (A) (A)322121cosCxCxCxy ； (B) (B)322121sinCxCxCxy ； (C)(C)1cosCxy ； (D) (D)xy2sin2 . .485 5、方程、方程0 yy的通解是的通解是( ).( ).(A)(A)1cossinCxxy ；(B)(B)321cossinCxCxCy ；(C)(C)1cossinCxxy ；(D)(D)1sinCxy . .6 6、若、若1y和和2y是二阶齐次线性方程是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy的两个特解的两个特解, ,则则 2211yCyCy ( (其中其中21,CC为任意常数为任意常数)( )( )(A)(A)是该方程的通解；是该方程的通解； (B) (B)是该方程的解；是该方程的解； (C) (C)是该方程的特解；是该方程的特解； (D) (D)不一定是该方程的解不一定是该方程的解. .497 7、求求方方程程0)(2 yyy的的通通解解时时, ,可可令令( ( ) ). . ( (A A) )PyPy 则则,； ( (B B) )dydPPyPy 则则,； ( (C C) )dxdPPyPy 则则,； ( (D D) )dydPPyPy 则则,. .8 8、已已知知方方程程02 yyxyx的的一一个个特特解解为为xy , ,于于 是是方方程程的的通通解解为为( ( ) ). . ( (A A) )221xCxCy ； ( (B B) )xCxCy121 ； ( (C C) )xeCxCy21 ； ( (D D) )xeCxCy 21. .509 9、 已知方程、 已知方程0)()( yxQyxPy的一个特的一个特1y解解为为, , 则另一个与它线性无关的特解为则另一个与它线性无关的特解为( ).( ). (A) (A) dxeyyydxxP)(21121； (B) (B) dxeyyydxxP)(21121； (C)(C) dxeyyydxxP)(1121； (D) (D) dxeyyydxxP)(1121. .511010、方程、方程xeyyyx2cos23 的一个特解形式是的一个特解形式是 ( ).( ). (A) (A) xeAyx2cos1 ； (B) (B) xxeBxxeAyxx2sin2cos11 ； (C) (C) xeBxeAyxx2sin2cos11 ； (D) (D) xexBxexAyxx2sin2cos2121 . .二二、 求求下下列列一一阶阶微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、)1(lnln xaxyxyx； 2 2、033 yxxydxdy； 3 3、022 yxxdyydxydyxdx. .52三三、 求求下下列列高高阶阶微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、012 yyy；2 2、)4(2 xexyyy. .四四、 求求下下列列微微分分方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: :1 1、0)(2223 dyxyxdxy, ,11 yx时时，；2 2、xyyycos2 , ,23,00 yyx时时，. .五、已知某曲线经过点五、已知某曲线经过点)1,1(, ,它的切线在纵轴上的截它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标距等于切点的横坐标, ,求它的方程求它的方程 . .53六、六、 设可导函数设可导函数)(x 满足满足 1sin)(2cos)(0 xtdttxxx , , 求求)(x . . 七、七、 我舰向正东我舰向正东海海里里1处的敌舰发射制导鱼雷处的敌舰发射制导鱼雷, ,鱼雷在鱼雷在航行中始终对准敌舰航行中始终对准敌舰. .设敌舰以设敌舰以0v常常数数沿正北方向沿正北方向直线行驶直线行驶, ,已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍已知鱼雷速度是敌舰速度的两倍, ,求鱼雷求鱼雷的航行曲线方程的航行曲线方程, ,并问敌舰航行多远时并问敌舰航行多远时, ,将被鱼雷击将被鱼雷击中中? ?54测验题答案测验题答案一一、1 1、A A； 2 2、A A； 3 3、B B； 4 4、A A； 5 5、B B； 6 6、B B； 7 7、B B； 8 8、B B； 9 9、A A； 1 10 0、C C. .二二、1 1、xcaxyln ； 2 2、12122 xeCyx； 3 3、Cxyyx arctan222. .三三、1 1、)cosh(1211CxCCy ； 2 2、xxexxeCeCCyxxx 222321)9461(. .55四、四、1 1、0)ln21(2 yyx； 2 2、xxeyxsin21 . .五、五、xxxyln . .六、六、xxxsincos)( . .七、七、)10(32)1(31)1(2321 xxxy. .敌舰航行敌舰航行32海里后即被击中海里后即被击中. .