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第十节导数的概念及运算考纲传真1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数(对应学生用书第30页) 基础知识填充1导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数yc(c为常数)y0yx(常数)yx1ysin xycos_xycos xysin_xyexyexyax(a0，a1)yaxln_ayln xyylogax(a0，a1)yytan xyycot xy4导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)知识拓展1曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与非二次曲线相切，公共点不一定只有一个基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(a)a32axx2，则f(a)3a22x.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()ABCDD由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.3(20xx天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.4(20xx全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_xy10y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.5(20xx全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.(对应学生用书第31页)导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)y. 【导学号：00090059】解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.规律方法1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导变式训练1(1)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)()A2B4C6D8(2)(20xx天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(1)C(2)3(1)f(x)6x2f(2)，令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)30246.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.导数的几何意义角度1求切线方程已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程思路点拨(1)点P(2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P(2,4)不一定是切点，先设切点坐标为，由此求出切线方程，再把点P(2,4)代入切线方程求x0.解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y4，曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为yx，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.角度2求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_(e，e)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度3求参数的值(1)已知直线yxb与曲线yxln x相切，则b的值为()A2B1CD1(2)(20xx西宁复习检测(一)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2 CD(1)B(2)A(1)设切点坐标为(x0，y0)，y，则y|xx0，由得x01，切点坐标为，又切点在直线yxb上，故b，得b1.(2)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2，故选A规律方法1.导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.
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