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（人教版）精品数学教学资料课后提升作业 十一椭圆方程及性质的应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:x225+y236=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1个B.1个或2个C.2个D.0个【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且3225+(-1)236<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.【补偿训练】直线y=k(x-2)+1与椭圆x216+y29=1的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.无法判断【解析】选B.直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得416+19<1,所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.椭圆x24+y23=1的右焦点到直线y=3x的距离是()A.12B.32C.1D.3【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d=33+1=32.3.(2016·长沙高二检测)若直线y=x+6与椭圆x2+y2m2=1(m>0且m1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为()A.1B.5C.2D.25【解析】选D.由y=x+6,x2+y2m2=1,得(1+m2)x2+26x+6-m2=0,由已知=24-4(1+m2)(6-m2)=0,解得m2=5,所以椭圆的长轴长为25.【补偿训练】直线y=x+m与椭圆x2144+y225=1有两个公共点,则m的取值范围是()A.(-5,5)B.(-12,12)C.(-13,13)D.(-15,15)【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式>0,可得-13<m<13.4.(2016·济南高二检测)已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=()A.23B.43C.4D.8【解析】选D.如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连结AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.5.(2016·马鞍山高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|,则椭圆C的离心率e=()A.22B.32C.23D.33【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c<a),由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0,所以aba2+b2=63c,因为b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=22.6.过点M-1,12的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k10).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12+2y12=2,x22+2y22=2,-得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.即y2-y1x2-x1=-x1+x22(y1+y2),所以k1=y2-y1x2-x1=-22×1=1,而k2=12-0-1-0=-12,故k1k2=-12.7.(2016·重庆高二检测)椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为22,则mn的值是()A.22B.233C.922D.2327【解析】选A.联立方程组可得y=1-x,mx2+ny2=1(m+n)x2-2nx+n-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则x0=x1+x22=nm+n,y0=1-x0=1-nm+n=mm+n.所以kOP=y0x0=mn=22.8.椭圆x216+y24=1上的点到直线x+2y-2=0的最大距离是()A.3B.11C.22D.10【解析】选D.设与直线x+2y-2=0平行的直线为x+2y+m=0,与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+m24=0.=m2-8m24-4=0,即-m2+32=0,所以m=±42.所以两直线间距离最大是当m=42时,dmax=|2+42|5=10.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016·天津高二检测)直线l交椭圆x216+y212=1于A,B两点,AB的中点为M(2,1),则l的方程为_.【解析】由点差法求出kAB=-32,所以l的方程为y-1=-32(x-2).化简得:3x+2y-8=0.答案:3x+2y-8=0【补偿训练】直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得的线段的中点坐标为()A.23,53B.43,73C.-23,13D.-132,-172【解析】选C.由y=x+1,x2+2y2=4消去y,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-43,所以y1+y2=x1+x2+2=23.所以AB中点的坐标为-23,13.10.(2016·邯郸高二检测)过椭圆x25+y24=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为_.【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程x25+y24=1,y=2x-2得交点坐标,不妨令A(0,-2),B53,43,所以SAOB=12·|OF|·|yA-yB|=53.答案:53三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(1)求动点M的轨迹C的方程.(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.【解题指南】由动点M的坐标,根据已知条件列方程即可;设出直线方程与椭圆方程联立,得出k与x1,x2的关系式,利用中点坐标即可得斜率.【解析】(1)点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,则|x-4|=2(x-1)2+y2x24+y23=1.所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为x24+y23=1.(2)P(0,3),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2,椭圆的上下顶点坐标分别是(0,3)和(0,-3),经检验直线m不经过这两点,即直线m斜率k存在.设直线m的方程为:y=kx+3.联立椭圆和直线方程,整理得:(3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=-24k3+4k2,x1·x2=243+4k2,x1x2+x2x1=12+2(x1+x2)2-2x1·x2x1·x2=52(-24k)2(3+4k2)·24=92k=±32,所以直线m的斜率k=±32.12.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.【解析】(1)由题意得4x2+y2=1,y=x+m,消y整理得:5x2+2mx+m2-1=0.因为直线与椭圆有公共点,所以=4m2-20(m2-1)=20-16m20,所以-52m52.(2)设直线与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2),则由(1)得x1+x2=-2m5,x1x2=m2-15.所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·425m2-4(m2-1)5=225-4m2+5.因为-52m52,所以0m254,所以当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线方程为y=x,即x-y=0.【延伸拓展】解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种(1)利用定义转化为几何问题处理.(2)利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解.(3)利用函数的最值,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.【补偿训练】(2016·池州高二检测)已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2.(1)试求动点P的轨迹C的方程.(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M,N两点,求|MN|.【解析】(1)设点P(x,y),则依题意有yx+1·yx-1=-2,整理得x2+y22=1,由于x±1,所以求得的曲线C的方程为x2+y22=1(x±1).(2)由x2+y22=1,y=x+1,消去y得:3x2+2x-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-23,x1x2=-13,|MN|=2|x1-x2|=249-4-13=432.【能力挑战题】已知ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且ABl.(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及ABC的面积.(2)当ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.【解析】(1)因为ABl,且AB边通过点(0,0),所以AB所在直线的方程为y=x.设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),由x2+3y2=4,y=x,得x=±1,所以|AB|=2|x1-x2|=22,又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,所以h=2,所以SABC=12|AB|·h=2.(2)设AB所在直线方程为y=x+m.由x2+3y2=4,y=x+m,得4x2+6mx+3m2-4=0.因为A,B在椭圆上,所以=-12m2+64>0.设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=-3m2,x1x2=3m2-44,所以|AB|=2|x1-x2|=32-6m22.又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=|2-m|2.所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.所以当m=-1时,AC边最长.(这时=-12+64>0)此时AB所在直线方程为y=x-1.关闭Word文档返回原板块
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