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第十一节导数的应用考纲传真(教师用书独具)1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题(对应学生用书第34页)基础知识填充1函数的单调性与导数的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的；(3)如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常数函数2函数的极值与导数(1)极值点与极值设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性相反或导数值异号，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极值(2)极大值点与极小值点若先增后减(导数值先正后负)，则x0为极大值点；若先减后增(导数值先负后正)，则x0为极小值点(3)可求导函数极值的步骤：求f(x)；解方程f(x)0；检查f(x)在方程f(x)0的解x0的左右两侧的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值如果f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)设函数f(x)在a，b上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识拓展1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零3对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f(x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f(x)0，则函数f(x)在此区间上没有单调性()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改编)f(x)x36x2的单调递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x4，所以单调递减区间为(0,4)3如图2111所示是函数f(x)的导函数f(x)的图像，则下列判断中正确的是()图2111A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(1,3)上是减函数C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,4)上是增函数A当x(3,0)时，f(x)0，则f(x)在(3,0)上是减函数其他判断均不正确4函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值为8.5函数f(x)xaln x(a0)的极小值为_aaln af(x)的定义域为(0，)，易知f(x)1.由f(x)0，解得xa(a0)又当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，所以函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a第1课时导数与函数的单调性(对应学生用书第35页)利用用导数法判断或证明函数的单调性(20xx全国卷节选)已知函数f(x)ex(exa)a2x.讨论f(x)的单调性解函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增若a0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0；当x(ln a，)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增若a1时，g(x)0.解(1)由题意得f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0有x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11.当x1时，s(x)0，又s(1)0，有s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0.利用导数求函数的单调区间设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间. 【导学号：79140076】解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)规律方法利用导数求函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x).(3)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递增区间.(4)在定义域内解不等式f(x)0，得单调递减区间.易错警示：解不等式f(x)0(0)时不加“”号.跟踪训练(20xx合肥第二次质检节选)已知f(x)ln(xm)mx.求f(x)的单调区间解由已知可得函数定义域为(m，)f(x)ln(xm)mx，f(x)m.当m0时，f(x)m0，即f(x)的单调递增区间为(m，)，无单调递减区间；当m0时，f(x)m，由f(x)0，得xm(m，)，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，当m0时，易知f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.已知函数单调性求参数的取值范围已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在单调递减区间，所以当x(0，)时，ax20有解，即a有解设G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范围为(1，)(2)由h(x)在1,4上单调递减得，当x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，即a的取值范围是.1本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解由h(x)在1,4上单调递增得，当x1,4时，h(x)0恒成立，当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，a1，即a的取值范围是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解h(x)在1,4上存在单调递减区间，则h(x)0在1,4上有解，当x1,4时，a有解，又当x1,4时，min1，a1，即a的取值范围是(1，)规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解.易错警示：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.跟踪训练(1)(20xx四川乐山一中期末)f(x)x2aln x在(1，)上单调递增，则实数a的取值范围为()Aa1Ba1Ca2Da2(2)函数f(x)x3x2ax5在区间1,2上不单调，则实数a的取值范围是() 【导学号：79140077】A(，3B(3,1)C1，)D(，31，)(1)D(2)B(1)由f(x)x2aln x，得f(x)2x，f(x)在(1，)上单调递增，2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，x(1，)时，2x22，a2.故选D(2)因为f(x)x3x2ax5，所以f(x)x22xa(x1)2a1，如果函数f(x)x3x2ax5在区间1,2上单调，那么a10或解得a1或a3，于是满足条件的a(3,1)函数不单调问题求参数的取值范围f(x)x33ax23x1在(2,3)上不单调，求a的取值范围解f(x)3x26ax3，f(x)在(2,3)上不单调3x26ax30在(2,3)上有解a，当2x3时，a. 规律方法f(x)在(a，b)上不单调f(x)在(a，b)上有极值f(x)0在(a，b)上有解且无重根.跟踪训练f(x)x3(1a)x2a(a2)xb在(1,1)上不单调，求a的取值范围解f(x)3x22(1a)xa(a2)(3xa2)(xa)，f(x)在(1,1)上不单调，f(x)0在(1,1)上有解a3x2或ax，有1x1得5a1，又4(1a)212a(a2)(2a1)20，a，a的取值范围为5a或a1.
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