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第三节函数的奇偶性与周期性 考纲传真1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性(对应学生用书第11页) 基础知识填充1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称(2)考察表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)：若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数3函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x，都有f(xT)f(x)，就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期知识拓展1函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0)(2)若f(xa)，则T2a(a0)(3)若f(xa)，则T2a(a0)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()ABCDB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3(20xx广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin 2xByx2cos xCy2xDyx2sin xDA项，定义域为R，f(x)xsin 2xf(x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f(x)x2cos xf(x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f(x)2x2xf(x)，为偶函数，故不符合题意；D项，定义域为R，f(x)x2sin x，f(x)x2sin x，因为f(x)f(x)，且f(x)f(x)，故为非奇非偶函数4(20xx全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.12法一：令x0，则x0.f(x)2x3x2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)f(x)2x3x2(x0)f(2)2232212.法二：f(2)f(2)2(2)3(2)212.5(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，)上是减函数，且在区间a，b(ab0)上的值域为3,4，则在区间b，a上()A有最大值4B有最小值4C有最大值3D有最小值3B法一：根据题意作出yf(x)的简图，由图知，选B法二：当xb，a时，xa，b，由题意得f(b)f(x)f(a)，即3f(x)4，4f(x)3，即在区间b，a上f(x)min4，f(x)max3，故选B(对应学生用书第12页)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)(x1)；(2)f(x)lg(2x)；(3)f(x)；(4)f(x) 【导学号：00090021】解(1)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数(2)函数的定义域为R，且f(x)lg(2x)lglg(2x)f(x)故原函数为奇函数(3)由得x23，x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(4)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，则当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数规律方法1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断变式训练1(1)(20xx商丘模拟)已知函数f(x)ln(ex)ln(ex)，则f(x)是()A奇函数，且在(0，e)上是增加的B奇函数，且在(0，e)上是减少的C偶函数，且在(0，e)上是增加的D偶函数，且在(0，e)上是减少的(2)(20xx全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() 【导学号：00090022】Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数(1)D(2)C(1)f(x)的定义域为(e，e)，关于原点对称f(x)ln(ex)ln(ex)f(x)，函数f(x)是偶函数又f(x)ln(e2x2)，所以f(x)在(0，e)上是减少的(2)A：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错函数奇偶性的应用(1)(20xx全国卷)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.(1)1(2)(1)f(x)为偶函数，f(x)f(x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.(2)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0时，x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即f(x)x24x(x0)，f(x)规律方法1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式变式训练2(1)设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3B1C1D3(2)(20xx青岛模拟)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.(1)A(2)(1)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)2020b0，解得b1，所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.(2)f(x)ln(e3x1)axlnaxln(1e3x)3xax，依题意得，对任意xR，都有f(x)f(x)，即ln(1e3x)3xaxln(1e3x)ax，化简得2ax3x0(xR)，因此2a30，解得a.函数的周期性及其应用(1)(20xx山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3,0时，f(x)6x，则f(919)_.(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)f(2)f(2 017)_.(1)6(2)1 009(1)f(x4)f(x2)，f(x2)4)f(x2)2)，即f(x6)f(x)，f(x)是周期为6的周期函数，f(919)f(15361)f(1)又f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)f(1)6，即f(919)6.(2)f(x2)f(x)，函数f(x)的周期T2.又当x0,2)时，f(x)2xx2，f(0)0，f(1)1，f(0)f(1)1.f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(2 016)f(2 017)1，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.母题探究1若将本例(2)中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.母题探究2若将本例(2)中“f(x2)f(x)”改为“f(x1)”，则结论如何？解f(x1)，f(x2)f(x1)1f(x)故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 017)1 009.规律方法1.判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质2在解决具体问题时，要注意“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用变式训练3(20xx长沙模拟(一)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x)，且f(x)则下列函数值为1的是()Af(2.5)Bf(f(2.5)Cf(f(1.5)Df(2)D由f(x1)f(x)知f(x2)f(x1)f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)f(0.5)1，f(f(2.5)f(1)f(1)1，f(f(1.5)f(f(0.5)f(1)1，f(2)f(0)1，故选D
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