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第3课时导数与函数的综合问题(对应学生用书第40页)利用导数研究不等式的有关问题角度1证明不等式(20xx·全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)2.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)>0，故f(x)在(0，)上单调递增若a<0，则当x时，f(x)>0；当x时，f(x)<0.故f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln1.所以f(x)2等价于ln12，即ln10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)>0；当x(1，)时，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x>0时，g(x)0.从而当a<0时，ln10，即f(x)2.角度2解决不等式恒(能)成立问题(20xx·广州综合测试(二)已知函数f(x)axb在点(e，f(e)处的切线方程为yax2e.(1)求实数b的值；(2)若存在xe，e2，满足f(x)e，求实数a的取值范围. 【导学号：79140086】解(1)函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为f(x)axb，所以f(x)a.所以函数f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为y(eaeb)a(xe)，即yaxeb.已知函数f(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yax2e，比较可得be.所以实数b的值为e.(2)f(x)e，即axee，所以问题转化为a在e，e2上有解令h(x)(xe，e2)，则h(x).令p(x)ln x2，所以当xe，e2时，有p(x)0.所以函数p(x)在区间e，e2上单调递减所以p(x)p(e)ln e20.所以h(x)0，即h(x)在区间e，e2上单调递减所以h(x)h(e2).所以实数a的取值范围为.规律方法1.利用导数证明含“x”不等式方法，证明：f(x)g(x).法一：移项，f(x)g(x)0，构造函数F(x)f(x)g(x)，转化证明F(x)min0，利用导数研究F(x)单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：f(x)ming(x)max.法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否成立问题.跟踪训练(20xx·东北三省三校二联)已知函数f(x)sin x.(1)当x0时，证明：f(x)1；(2)若当x时，f(x)ax恒成立，求实数a的取值范围解(1)证明：设g(x)f(x)cos x(x0)，则g(x)sin xx(x0)令M(x)g(x)(x0)，则M(x)1cos x0，g(x)在(0，)上单调递增g(x)g(0)0.g(x)在(0，)上单调递增g(x)g(0)0.f(x)1成立(2)当x时，f(x)axsin xtan xax.设h(x)sin xtan xax，则h(x)cos xa.令tcos x，由0x，得0t1.设k(t)t(0t1)，则k(t)10.k(t)在(0,1)上单调递减k(t)k(1)2.当a2时，h(x)0，h(x)在上单调递增h(x)h(0)0，即原不等式成立当a2时，关于t的方程ta在(0,1)仅有一根，设根为t0，设cos mt0,0m，则存在唯一m，使得cos mt0.当x(0，m)时，t0cos x1h(x)0，h(x)在(0，m)上单调递减h(x)h(0)0，这与条件矛盾，a2时不成立综上所述，a2，即实数a的取值范围为(，2利用导数研究函数零点、方程的根、极值个数问题(20xx·北京高考节选)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因为f(0)c，f(0)b，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为ybxc.(2)当ab4时，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，当c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点规律方法利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.跟踪训练设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点. 【导学号：79140087】解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f()无极大值(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke，当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1，上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点利用导数研究生活中的优化问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3<x<6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值，所以，当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大规律方法利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)设自变量、因变量，建立函数关系式yf(x)，并确定其定义域.(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题作答.(5)注意f(x)在开区间(a，b)与在闭区间a，b上求最值的区别，f(x)在开区间(a，b)上只有一个极值点，则该点即为最值点.跟踪训练某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_40由yx239x400，得x1或x40，当0x40时，y0；x40时，y0.所以当x40时，y有最小值
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