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第二节基本不等式考纲传真1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(对应学生用书第81页) 基础知识填充1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号(3)称为正数a，b的算术平均数.称为正数a、b的几何平均数2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR当且仅当ab时，取等号)；(2)2(a，b同号且不为零，当且仅当ab时，取等号)；(3)ab2(a，bR，当且仅当ab时，取等号)；(4)2(a，bR，当且仅当ab时，取等号)3利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos x，x的最小值等于4.()(3)x>0，y>0是2的充要条件()(4)若a>0，则a3的最小值为2.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2若a，bR，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()Aa2b2>2abBab2C>D2Da2b22ab(ab)20，A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误对于D，ab>0，22.3(20xx·福州模拟)若直线1(a0，b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于()A2B3C4D5C因为直线1(a0，b0)过点(1,1)，所以1.所以ab(ab)·2224，当且仅当ab2时取“”，故选C4若函数f(x)x(x>2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1 C3D4C当x>2时，x2>0，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x>2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即a3，选C5(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2. 【导学号：00090198】25设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，则另一边为×(202x)(10x)m，则yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.(对应学生用书第81页)直接法或配凑法求最值(1)(20xx·湖南高考)若实数a，b满足，则ab的最小值为()AB2C2D4(2)已知x，则f(x)4x2的最大值为_(1)C(2)1(1)由知a>0，b>0，所以2，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.(2)因为x，所以54x0，则f(x)4x2323231.当且仅当54x，即x1时，等号成立故f(x)4x2的最大值为1.规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式变式训练1(1)若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a等于()A1B1C3D4(2)(20xx·平顶山模拟)若对于任意的x0，不等式a恒成立，则实数a的取值范围为()AaBaCaDa(1)C(2)A(1)当x2时，x20，f(x)(x2)2224，当且仅当x2(x2)，即x3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a3，选C(2)由x0，得，当且仅当x1时，等号成立则a，故选A常数代换法或消元法求最值(1)(20xx·河北“五个一名校联盟”模拟)已知正实数x，y满足2xy2，则的最小值为_(2)(20xx·郑州模拟)已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_ 【导学号：00090199】(1)(2)3(1)正实数x，y满足2xy2，则(2xy)，当且仅当xy时取等号的最小值为.(2)由x22xy30得yx，则2xy2xx23，当且仅当x1时，等号成立，所以2xy的最小值为3.规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解易错警示：(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致变式训练2(1)已知x0，y0且xy1，则的最小值为_(2)(20xx·淮北模拟)已知正数x，y满足x2yxy0，则x2y的最小值为()A8B4C2D0(1)18(2)A(1)因为x0，y0，且xy1，所以(xy)1010218，当且仅当，即x2y时等号成立，所以当x，y时，有最小值18.(2)法一：(常数代换法)由x2yxy0，得1，且x0，y0.x2y(x2y)×4448.法二：(不等式法)由x0，y0得x2yxy·2即(x2y)28(x2y)0解得x2y8或x2y0(舍去)从而x2y的最小值为8.基本不等式的实际应用运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【导学号：00090200】解(1)设所用时间为t(h)，y×2×14×，x50,100.2分所以这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x.(或yx，x).5分(2)yx26 ，当且仅当x，即x18，等号成立.8分故当x18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.12分规律方法1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数2根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值3在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解变式训练3某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时. 【导学号：00090201】(1)1 900(2)100(1)当l6.05时，F，F1 900，当且仅当v，即v11时取“”最大车流量F为1 900辆/时(2)当l5时，F，F2 000，当且仅当v，即v10时取“”最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/时
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