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第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考纲传真1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决(对应学生用书第83页) 基础知识填充1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC>0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2. 线性规划中的相关概念名称意义线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题知识拓展确定二元一次不等式表示的平面区域的位置把二元一次不等式AxByC0(0)表示为ykxb或ykxb的形式若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的上方，若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的下方基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)不等式x2y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域()答案(1)×(2)(3)×(4)2(教材改编)不等式组表示的平面区域是()Cx3y6<0表示直线x3y60左上方的平面区域，xy20表示直线xy20及其右下方的平面区域，故选C3(20xx·全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的最大值为()A0B1C2D3D根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由zxy得yxz.作出直线yx，并平移该直线，当直线yxz过点A时，目标函数取得最大值由图知A(3,0)，故zmax303.故选D4(20xx·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x3y10的距离为4，且点P(m,1)在不等式2xy3表示的平面区域内，则m_. 【导学号：00090190】6由题意得4及2m13，解得m6.5在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_1不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC×2×11.(对应学生用书第84页)二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(20xx·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()ABCD(2)(20xx·衡水中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()Aa<5Ba7 C5a<7Da<5或a7(1)B(2)C(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为，故选B(2)如图，当直线ya位于直线y5和y7之间(不含y7)时满足条件，故选C规律方法1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点2不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解变式训练1(1)不等式组表示的平面区域的面积为_. 【导学号：00090191】(2)(20xx·潍坊模拟)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为_(1)4(2)(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分由得A(0,2)，B(2,0)，C(8，2)直线x2y40与x轴的交点D的坐标为(4,0)因此SABCSABDSBCD×2×2×2×24.(2)直线kxy20恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A(2,2k2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知×2×(2k2)3，解得k.简单的线性规划问题角度1求线性目标函数的最值(1)(20xx·全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A15B9 C1D9(2)(20xx·福州质检)已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是_. 【导学号：00090192】(1)A(2)3(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x并平移，当直线y2xz经过点A(6，3)时，z取最小值，且zmin2×(6)315.故选A(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z2xy，所以当目标函数z2xy经过平面区域内的点(1,1)时，z2xy取得最大值zmax2×113.角度2求非线性目标函数的最值(1)(20xx·山东高考)若变量x，y满足则x2y2的最大值是 () 【导学号：00090193】A4B9C10D12(2)(20xx·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件则z的取值范围是_(1)C(2)(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示x2y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，1)，由图易得(x2y2)max|OA|232(1)210.故选C(2)作出不等式组所表示的区域，如图中ABC所表示的区域(含边界)，其中点A(1,1)，B(1，1)，C.z表示ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMAzkMB，即z，化简得1z.角度3线性规划中的参数问题(20xx·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数zymx(m>0)的最大值为1，则m的值是()AB1 C2D5B作出可行域，如图所示的阴影部分m>0，当zymx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，2m1，解得m1.故选B规律方法1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值时常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.易错警示：注意转化的等价性及几何意义线性规划的实际应用(20xx·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分5分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图像是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大7分解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax2×203×24112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分规律方法1.解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题变式训练2(20xx·全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元216 000设生产产品A为x件，产品B为y件，则目标函数z2 100x900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)当直线z2 100x900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax2 100×60900×100216 000(元)
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