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第一节坐标系考纲传真1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程(对应学生用书第158页) 基础知识填充1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系对于平面内任意一点M，用表示线段OM的长，表示以Ox为始边、OM为终边的角度，叫作点M的极径，叫作点M的极角，有序实数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)当点M在极点时，它的极径0，极角可以取任意值图(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或图3常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(R)或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(0)基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)若点P的直角坐标为(1，)，则点P的一个极坐标是.()(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的()(4)极坐标方程(0)表示的曲线是一条直线()答案(1)×(2)(3)(4)×2(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.3(教材改编)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若曲线C的极坐标方程为2sin ，则曲线C的直角坐标方程为_x2y22y0由2sin ，得22sin .所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0.4已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_由2sin，得2，yx1.由A，得点A的直角坐标为(2，2)点A到直线l的距离d.5已知圆C的极坐标方程为22·sin40，求圆C的半径. 【导学号：00090368】解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程可化为2240，化简，得22sin 2cos 40.则圆C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆C的半径为.(对应学生用书第159页)平面直角坐标系中的伸缩变换将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C(1)求曲线C的方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得2分由xy1得x221，故曲线C的方程为x21.5分(2)由解得或6分不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k，8分于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为.10分规律方法1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，利用方程思想求解2求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将xcos ，ysin 代入转化变式训练1在平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A经过变换所得点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得直线l的方程解(1)设点A(x，y)，由伸缩变换：得x×31，y1.点A的坐标为(1，1)(2)设P(x，y)是直线l上任意一点由伸缩变换：得代入y6x，得2y6·2x，yx为所求直线l的方程极坐标与直角坐标的互化(20xx·全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解(1)设点P的极坐标为(，)(>0)，点M的极坐标为(1，)(1>0)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0).2分因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0).4分(2)设点B的极坐标为(B，)(B>0)由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|·B·sinAOB6分4cos ·22.8分当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.10分规律方法1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式：xcos ，ysin ，2x2y2，tan (x0)2进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意，的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等方法变式训练2(20xx·北京高考改编)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：cos sin 10，C2：2cos .(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离解(1)由C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，则(x1)2y21.C2是圆心为(1,0)，半径r1的圆(2)由(1)知点(1,0)在直线xy10上，因此直线C1过圆C2的圆心两交点A，B的连线段是圆C2的直径因此两交点A，B间的距离|AB|2r2.直线与圆的极坐标方程的应用(20xx·全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求A解(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2(y1)2a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.2分将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.4分(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，得16cos28sin cos 0，8分从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上所以a1.10分规律方法1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程，再化为极坐标方程，考查学生的化归与转化能力第(2)问中关键是理解极坐标方程，有意识地将问题简单化，进而求解2由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标方程解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解变式训练3(20xx·石家庄模拟)已知曲线C1：xy和C2：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离解(1)曲线C1化为cos sin .sin.2分曲线C2化为1.(*)将xcos ，ysin 代入(*)式得cos2sin21，即2(cos23sin2)6.曲线C2的极坐标方程为2.4分(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的极坐标方程为，6分把代入sin得11，P.把代入2得22，Q.8分|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.10分
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