人教版 高中数学 选修23 练习第三章 章末复习课

2019 人教版精品教学资料高中选修数学 章末复习课 整合整合 网络构建网络构建 警示警示 易错提醒易错提醒 1线性回归方程中的系数及相关指数线性回归方程中的系数及相关指数 R2，独立性检验统计量独立性检验统计量 K2公式复杂公式复杂，莫记混用错莫记混用错 2相关系数相关系数 r 是判断两随机变量相关强度的统计量是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数相关指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量， 而而 K2是判断两分类变是判断两分类变量相关程度的量量相关程度的量，应注意区分应注意区分 3在独立性检验中在独立性检验中，当当 K26.635 时时，我们有我们有 99.9%的把握认为的把握认为两分类变量有关两分类变量有关，是指是指“两分类变量有关两分类变量有关”这一结论的可信度为这一结论的可信度为 99%而不是两分类变量有而不是两分类变量有关系的概率关系的概率为为 99%. 专题一专题一 回归分析思想的应用回归分析思想的应用 回归分析是对抽取的样本进行分析回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化如果两个变量非线性并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化如果两个变量非线性相关相关，我们可以通过对变量进行变换我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题转化为线性相关问题 例例 1 一个车间为了规定工时定额， 需确定加工零件所花费的时一个车间为了规定工时定额， 需确定加工零件所花费的时间，为此进行了间，为此进行了 10 次试验次试验，测得的数据如下表所示：测得的数据如下表所示： 零件数零件数 x/个个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间加工时间y/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127 (1)画出散点图画出散点图，并初步判断是否线性相关；并初步判断是否线性相关； (2)若线性相关若线性相关，求线性回归方程；求线性回归方程； (3)求出相关指数；求出相关指数； (4)作作出残差图；出残差图； (5)进行残差分析；进行残差分析； (6)试制订加工试制订加工 200 个零件的用时规定个零件的用时规定 解：解：(1)散点图散点图，如图如图所示：所示： 由图可知由图可知，x，y 线性相关线性相关 (2)x 与与 y 的关系可以用线性回归模型来拟合的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为不妨设回归模型为yabx.因为因为 x 55， y 92， 0670， a y b x 92553825558271555.133. 故线性回归方程为故线性回归方程为y0.670 x55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据：利用所求回归方程求出下列数据： yi 61.833 68.533 75. 233 81.933 88.633 yiyi 0.167 3.467 0.233 0.933 3.633 yi y 30 20 17 11 7 yi 95.333 102.033 108.733 115.433 122.133 yiyi 0.333 0.967 0.733 3.433 4.867 yi y 3 11 16 20 35 (4)因因为为 eiyiyi，利用上表中数据作出残差图利用上表中数据作出残差图，如图所示：如图所示： (5)由散点图可以看出由散点图可以看出 x 与与 y 有很强的线性相关性有很强的线性相关性， 由由 R2的值可以的值可以看出回归效果很好看出回归效果很好 由残差图也可观察到由残差图也可观察到，第第 2，5，9，10 个样本点的残差比较大个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误 (6)将将 x200 代入回归方程代入回归方程，得得y189，所以可以制订所以可以制订 189 min 加加工工 200 个零件的规定个零件的规定 归纳升华归纳升华 建立回归建立回归模型的一般步骤：模型的一般步骤： (1)确定研究对象确定研究对象，明确哪个变量是解释变量明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变哪个变量是预报变量；量； (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的观察它们之间的关系关系(如是否存在线性关系如是否存在线性关系)； (3)由经验确定回归方程的类型由经验确定回归方程的类型，如我们观察到数据呈线性关系如我们观察到数据呈线性关系，选用线性回归方程选用线性回归方程yabx； (4)按一定规则估计回归方程中的参数；按一定规则估计回归方程中的参数； (5)得出结果后分析得出结果后分析残差图是否有异常残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的或残差呈现不随机的规律性，等等规律性，等等) )，若残差存在异常，则应检查数据，若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等；是否有误，或模型是否合适等； ( (6)依据回归方程做出预报依据回归方程做出预报 变式训练变式训练 某商场经营一批进价是某商场经营一批进价是 30 元元/台的小商品台的小商品，在市场试在市场试验中发现验中发现，此商品的销售单价此商品的销售单价 x(x 取整数取整数)元与日销售量元与日销售量 y 台之间有如台之间有如下对应数据：下对应数据： 单价单价 x/元元 35 40 45 50 日销售日销售 y/台台 56 41 28 11 (1)画出散点图并说明画出散点图并说明 y 与与 x 是否具有线性相关关系？如果有是否具有线性相关关系？如果有，求求出线性回归方程出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字方程的斜率保留一个有效数字)； (2)设经营此商品的日销售利润为设经营此商品的日销售利润为 P 元元， 根据根据(1)写出写出 P 关于关于 x 的函的函数关系式数关系式，并预测当并预测当销售单价销售单价 x 为多少元时为多少元时，才能获得最大日销售利才能获得最大日销售利润润 解：解：散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近线附近，因此两个变量具有线性相关关系因此两个变量具有线性相关关系 设回归直线方程为设回归直线方程为yabx，由题意知由题意知 x 42.5， y 34, a y b x 34(3)42.5161.5. 所以所以y3x161.5. (2)依题意有：依题意有： P(3x161.5)(x30)3x2251.5x4 8453 x251.562251.52124 845. 所以当所以当 x251.5642 时时，P 有最大值有最大值 即预测销售单价约为即预测销售单价约为 42 元时元时，能获得最大日销售利润能获得最大日销售利润 专题二专题二 独立性检验的应用独立性检验的应用 独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；析方法常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量间的相的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系关关系 例例 2 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在在该市随该市随机抽取了机抽取了 50 名市民进行调查名市民进行调查，他们月收入他们月收入(单位：百元单位：百元)的频数分布及的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表所示：对楼市限购令的赞成人数如下表所示： 月收入月收入 15，25) 25，35) 35，45) 45，55) 55，65) 65，75) 频数频数 5 10 15 10 5 5 赞成赞成 人数人数 4 8 8 5 2 1 将月收入不低于将月收入不低于 55 的人群称为的人群称为“高收入族高收入族”，有收入低于有收入低于 55 的的人群称为人群称为“非高收入族非高收入族” (1)已知：已知：K2（abcd）（）（adbc）2（ab）（）（cd）（）（ac）（）（bd），当当 K22.706 时时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当 K22.706 时时，有有 90%的把握判断赞成楼市限购令与收入高低有关；当的把握判断赞成楼市限购令与收入高低有关；当K23.841，有有 95%的把握判断定赞不赞成楼市限购令与收入高低有的把握判断定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当关；当 K26.635 时时，有有 99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关高低有关 根据已知条件完成下面的根据已知条件完成下面的 22 列联表列联表， 有多大有多大的把握认为赞不赞的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？成楼市限购令与收入高低有关？ 分类分类 非高收入族非高收入族 高收入族高收入族 总计总计 赞成赞成 不赞成不赞成 总计总计 (2)现从月收入在现从月收入在 55， 65)的人群中随机抽取两人的人群中随机抽取两人， 求所抽取的两人求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率中至少一人赞成楼市限购令的概率 解：解：(1)22 列联表如下表所示：列联表如下表所示： 分类分类 非高收入族非高收入族 高收入族高收入族 总计总计 赞成赞成 25 3 28 不赞成不赞成 15 7 22 总计总计 40 10 50 K250（257153）2401022283.43，故有故有 90%的把握认为楼市限购的把握认为楼市限购令与收入高低有关令与收入高低有关 (2)设设“从月收入在从月收入在 55，65)的的 5 人中随机抽取人中随机抽取 2 人人，其中至少有其中至少有 1人赞成楼市限购令人赞成楼市限购令”为事件为事件 A，则事件则事件 A 含有基本事件数为含有基本事件数为 C25C237，从从 5 人中任取人中任取 2 人所含人所含基本事件数为基本事件数为 C2510，因此所求概率为因此所求概率为710. 归纳升华归纳升华 (1)判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断判断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验可进行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论独立性检验可以得到较为可靠的结论 (2)独立性检验的一般步骤：独立性检验的一般步骤： 根据样本数据制成根据样本数据制成 22 列联表；列联表； 根据公式计算根据公式计算 K2的值；的值； 比较比较 K2与临界值的大小关系与临界值的大小关系，做出统计推断做出统计推断 变式训练变式训练 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系系，得到如下数据试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有得到如下数据试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系？关系？ 性别性别 晚上晚上 白天白天 总计总计 男婴男婴 24 31 55 女婴女婴 8 26 34 总计总计 32 57 89 解：解：由公式由公式 K2（abcd）（）（adbc）2（ab）（）（cd）（）（ac）（）（bd）计算得计算得 K289（2426831）2553432573.69， 由于由于 K22.706， 所以只有所以只有 90%的把握说明婴儿出生的时间与性别的把握说明婴儿出生的时间与性别有关有关，故婴儿的出生的时间与性别是相互独立的故婴儿的出生的时间与性别是相互独立的(也可以说没有充分的也可以说没有充分的证据显示婴儿的性别与其出生时间有关证据显示婴儿的性别与其出生时间有关) 专题三专题三 数形结合思想数形结合思想 数形结合思想在统计中的应用主要是将收数形结合思想在统计中的应用主要是将收集到的数据利用图表的集到的数据利用图表的形式表示出来形式表示出来，直观地反映变量直观地反映变量间的关系间的关系 例例 3 为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下结果如下，问铅中毒病人和问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？对照组的尿棕色素阳性数有无差别？ 组别组别 阳性数阳性数 阴性数阴性数 总计总计 铅中毒病人铅中毒病人 29 7 36 对照组对照组 9 28 37 总计总计 38 35 73 解：解： 由上述列联由上述列联表可知表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占80.56%，而对照组仅占而对照组仅占 24.32%.说明他们之间有较大差别说明他们之间有较大差别 根据列联表作出等高条形图由图可知根据列联表作出等高条形图由图可知，铅中毒病人中与对照组相铅中毒病人中与对照组相比较比较，尿棕色素为阳性差异明显尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系存在关联关系 归纳升华归纳升华 收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤，将收将收集到的数据利用图表的形式整理出来集到的数据利用图表的形式整理出来，能够直观地反映变量能够直观地反映变量之间的关之间的关系系在精确度要求不高的情况下在精确度要求不高的情况下，可以利用散点图、等高条形图等对可以利用散点图、等高条形图等对两个变量之间的关系做出判断两个变量之间的关系做出判断 变式训练变式训练 根据如下样本数据：根据如下样本数据： x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 0.5 2.0 3.0 得到的回归方程为得到的回归方程为ybxa，则则( ) Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 解析：解析：根据题中表内数据画出散点图如图所示根据题中表内数据画出散点图如图所示，由散点图可知由散点图可知 b0，a0. 答案：答案：B