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2019人教版精品教学资料·高中选修数学第二章综合检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1设随机变量等可能取值1、2、3、n，如果P(<4)0.3，那么n的值为()A3B4C9D10答案D解析P(<4)0.3，n10.2(2016·北京东城区高二检测)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()ABCD答案A解析根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P×(1)(1)×，故选A3已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的方差D(X)等于()X01Pm2mABCD答案B解析由m2m1得，m，E(X)0×1×，D(X)(0)2×(1)2×，故选B4(2016·天水高二检测)设随机变量X服从正态分布N(3,4)，则P(X<13a)P(X>a27)成立的一个必要不充分条件是()Aa1或2Ba±1或2Ca2Da答案B解析XN(3,4)，P(X<13a)P(X>a27)，(13a)(a27)2×3，a1或2.故选B5如果随机变量B(n，p)，且E()7，D()6，则p等于()ABCD答案A解析如果随机变量B(n，p)，则Enp，Dnp(1p)，又E()7，D()6，np7，np(1p)6，p.6盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为()A恰有1只是坏的B4只全是好的C恰有2只是好的D至多有2只是坏的答案C解析Xk表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(Xk)(k1、2、3、4)P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，选C7.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为()ABCD答案D解析小球落入B袋中的概率为P1(××)×2，小球落入A袋中的概率为P1P1.8已知随机变量服从正态分布N(3,4)，则E(21)与D(21)的值分别为()A13,4B13,8C7,8D7,16答案D解析由已知E()3，D()4，得E(21)2E()17，D(21)4D()16.9有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是()A7.8B8C16D15.6答案A解析X的取值为6、9、12，P(X6)，P(X9)，P(X12).E(X)6×9×12×7.8.10设随机变量服从分布P(k)，(k1、2、3、4、5)，E(31)m，E(2)n，则mn()AB7CD5答案D解析E()1×2×3×4×5×，E(31)3E()110，又E(2)12×22×32×42×52×15，mn5.11某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a、b、c0,1)，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()ABCD答案C解析由条件知，3ab1，ab(3a)·b·2，等号在3ab，即a，b时成立12一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)x，f2(x)x2，f3(x)x3，f4(x)sinx，f5(x)cosx，f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为()ABCD答案A解析由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量可取1,2,3,4.P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的分布列为1234PE()1×2×3×4×.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13(2016·泉州高二检测)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号若a2，E()1，则D()的值为_.答案11解析根据题意得出随机变量的分布列：01234PE()0×1×2×3×4×，a2，E()1，1a×2，即a2，22，E()1，D()×(0)2×(1)2×(2)2×(3)2×(4)2，D()4D()4×11.故答案为11.14一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)_.答案解析由条件知，P(A)，P(AB)，P(B|A).15在一次商业活动中，某人获利300元的概率为0.6，亏损100元的概率为0.4，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是_元.答案140解析设此人获利为随机变量X，则X的取值是300，100，其概率分布列为：X300100P0.60.4所以E(X)300×0.6(100)×0.4140.16甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的序号).P(B)；P(B|A1)；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关答案解析从甲罐中取出一球放入乙罐，则A1、A2、A3中任意两个事件不可能同时发生，即A1、A2、A3两两互斥，故正确，易知P(A1)，P(A2)，P(A3)，又P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，故对错；P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)·P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)·P(B|A3)×××，故错误综上知，正确结论的序号为.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学.(1)求甲、乙两人都被分到A社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量为四名同学中到A社区的人数，求的分布列和E()的值解析(1)记甲、乙两人同时到A社区为事件M，那么P(M)，即甲、乙两人同时分到A社区的概率是.(2)记甲、乙两人在同一社区为事件E，那么P(E)，所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P()1P(E).(3)随机变量可能取的值为1,2.事件“i(i1,2)”是指有i个同学到A社区，则p(2).所以p(1)1p(2)，的分布列是：12pE()1×2×.18(本题满分12分)(2015·重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的可能取值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2)综上知，X的分布列为：X012P故E(X)0×1×2×(个)19(本题满分12分)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；工序概率产品第一工序第二工序甲0.80.85乙0.750.8(2)已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，求、的分布列及E()，E()；等级利润产品一等二等甲5(万元)2.5(万元)乙2.5(万元)1.5(万元)(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示该工厂有工人40名，可用资金60万元设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(2)的条件下，x、y为何值时，zxE()yE()最大？最大值是多少？项目 产品工人(名)资金(万元)甲85乙210解析(1)P甲0.8×0.850.68，P乙0.75×0.80.6.(2)随机变量、的分布列是52.5P0.680.322.51.5P0.60.4E()5×0.682.5×0.324.2，E()2.5×0.61.5×0.42.1.(3)由题设知即目标函数为zxE()yE()4.2x2.1y.作出可行域(如图)：作直线l：4.2x2.1y0，将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M，此时z4.2x2.1y取最大值解方程组得x4，y4，即x4，y4时，z取最大值，z的最大值为25.2.20(本题满分12分)(2016·天津理，16)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.()设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；()设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望解析()由已知有P(A).所以，事件A发生的概率为.()随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0).P(X1)，P(X2).所以，随机变量X分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0×1×2×1.21(本题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求p(187.8<Z<212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(<Z<)0.6826，P(2<Z<2)0.9544.解析(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为170×0.02180×0.09190×0.22200×0.33210×0.24220×0.08230×0.02200，s2(30)2×0.02(20)2×0.09(10)2×0.220×0.33102×0.24202×0.08302×0.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)P(22012.2<Z<20012.2)0.6826.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知XB(100,0.6826)，所以E(X)100×0.682668.26.22(本题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望解析(1)依次将事件“甲队以30胜利”、“甲队以31胜利”、“甲队以32胜利”记作A1、A2、A3，由题意各局比赛结果相互独立，故P(A1)()3，P(A2)C·()2·(1)×，P(A3)C()2·(1)2×.所以甲队以30胜利、以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，则由题意知P(A4)C(1)2·()2×(1).由题意，随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3，由事件的互斥性得，P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，或P(X3)(1)3C(1)2××.X的分布列为X0123PE(X)0×1×2×3×.
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