人教版 高中数学 选修22习题 第一章　导数及其应用 章末复习课

2019 人教版精品教学资料高中选修数学 章末复习课 1 1注意区分曲注意区分曲线在点线在点P P处的切线与过点处的切线与过点P P的曲线的切线的曲线的切线 2 2导数公式与导数的四则运算法则：导数公式与导数的四则运算法则： (1)(1)要注意公式的适用范围如要注意公式的适用范围如( (x xn n)nxnxn n1 1中中，n nN N，若若n nQQ 且且n n00，则应有则应有x x0 0； (2)(2)注意公式不要用混注意公式不要用混，如如( (a ax x)a ax xln ln a a，而不是而不是( (a ax x)xaxax x 1 1. .还要特别注意还要特别注意( (uvuv)u uv v，( (u uv v)u uv v. . 3 3利用导数讨论函数的单调性需注意以下几利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题：个问题： (1)(1)注意定义域优先原则注意定义域优先原则，必须在函数的定义域内解不等式必须在函数的定义域内解不等式f f(x x) )0(0(或或f f(x x) )0)0)； (2)(2)在对函数划分单调区间时在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于除了必须确定使导数等于 0 0 的点外的点外，还要注意函数的不连还要注意函数的不连续点或不可导点；续点或不可导点； (3)(3)注意在某一区间内注意在某一区间内f f(x x) )0(0(或或f f(x x) )0)0)是函数是函数f f( (x x) )在该区间上为增在该区间上为增( (或减或减) )函数函数的充分条件的充分条件 4 4 若若y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )内可导内可导，f f( (x x)0)0 或或f f(x x)0)0， 且且y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )内内导数导数f f(x x) )0 0 的点仅有有限个的点仅有有限个，则则y yf f( (x x) )在在( (a a，b b) )内仍是单调函数内仍是单调函数 5 5讨论含参数的函数的单调讨论含参数的函数的单调性时性时，必须注意分类讨论必须注意分类讨论 6 6极值与最值的区别和联系：极值与最值的区别和联系： (1)(1)函数的极值不一定是最值函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在或者考察函数在区间内的单调性；区间内的单调性； (2)(2)如果连续函数在区间如果连续函数在区间( (a a，b b) )内只有一个极值内只有一个极值，那么极大值就是最大值那么极大值就是最大值，极小值就是最极小值就是最小值；小值； (3)(3)可导函数的极值点导数为零可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点；但是导数为零的点不一定是极值点； (4)(4)极值是一个局部概念极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值极大值不一定比极小值大大 7 7导数的实际应用：导数的实际应用： (1)(1)在求实际问题的最大在求实际问题的最大( (小小) )值时值时，一定要注意考虑实际问题的意义一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的不符合实际意义的值应舍去；值应舍去； (2)(2)在实际问题中在实际问题中，有时会遇到有时会遇到函数在区间内只有一个点使函数在区间内只有一个点使f f(x x) )0 0 的情形的情形，如果函数如果函数在这点有极大在这点有极大( (小小) )值值，那么不与端点值比较那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大( (小小) )值值 8 8应用定积分求平面图形的面积时应用定积分求平面图形的面积时，要特别注意面积值应为正值要特别注意面积值应为正值，故应区分积分值为正故应区分积分值为正和为负的情形和为负的情形 专题一专题一 导数的几何意义及其应用导数的几何意义及其应用 导数的几何意义是曲线的切线斜率导数的几何意义是曲线的切线斜率，即曲线上某点处的导数值是曲线过该点的切线的斜即曲线上某点处的导数值是曲线过该点的切线的斜率率. . 与曲线的切线有关的问题与曲线的切线有关的问题，主要有两类：一类是求过某点的切线方程主要有两类：一类是求过某点的切线方程，该点可能在曲线该点可能在曲线上上，也可能在曲线外；若该点在曲线上也可能在曲线外；若该点在曲线上，也可能是切点也可能是切点，也可能不是切点另一类是已知切也可能不是切点另一类是已知切线方程或切线斜线方程或切线斜率率，求参数的值求参数的值 已知曲线已知曲线y y1 13 3x x3 34 43 3. . (1)(1)求曲线在点求曲线在点P P(2(2，4 4) )处的切线方程；处的切线方程； (2)(2)求曲线过点求曲线过点P P(2(2，4 4) )的切线方程；的切线方程； (3)(3)求斜率为求斜率为 4 4 的曲线的切线方程的曲线的切线方程 解：解：(1)(1)因为因为P P(2(2，4 4) )在曲线在曲线y y1 13 3x x3 34 43 3上上，且且y yx x2 2， 所以在点所以在点P P(2(2，4 4) )处的切线的斜率处的切线的斜率k ky y|x x2 24.4. 所以曲线在点所以曲线在点P P(2(2，4 4) )处的切线方程为处的切线方程为y y4 44(4(x x2)2)，即即 4 4x xy y4 40.0. (2)(2)设曲线设曲线y y1 13 3x x3 34 43 3与过点与过点P P(2(2，4 4) )的切线相切于点的切线相切于点A A x x0 0，1 13 3x x3 30 04 43 3，则切线的斜率则切线的斜率k ky y|x xx x0 0 x x2 20 0， 所以切线方程为所以切线方程为y y 1 13 3x x3 30 04 43 3x x2 20 0( (x xx x0 0) )， 即即y yx x2 20 0 x x2 23 3x x3 30 04 43 3. . 因为点因为点P P(2(2，4 4) )在切线上在切线上，所以所以 4 42 2x x2 20 02 23 3x x3 30 04 43 3， 即即x x3 30 03 3x x2 20 04 40 0，所以所以x x3 30 0 x x2 20 04 4x x2 20 04 40 0， 所以所以( (x x0 01)(1)(x x0 02)2)2 20 0，解得解得x x0 01 1 或或x x0 02 2， 故所求的切线方程为故所求的切线方程为 4 4x xy y4 40 0 或或x xy y2 20.0. (3)(3)设切点为设切点为( (x x1 1，y y1 1) )，则切线的则切线的斜率斜率k kx x2 21 14 4，得得x x0 02.2. 所以切点为所以切点为(2(2，4 4) )， 2 2，4 43 3， 所以切线方程为所以切线方程为y y4 44(4(x x2)2)和和y y4 43 34(4(x x2)2)， 即即 4 4x xy y4 40 0 和和 1212x x3 3y y20200.0. 归纳升华归纳升华 (1) (1) 解决此类问题一定要分清解决此类问题一定要分清“在某点处的切线在某点处的切线”，还是还是“过某点过某点的切线的切线”的问法的问法 (2)(2)解决解决“过某过某点的切线”问题点的切线”问题，一般是设切点坐标为，一般是设切点坐标为P P( (x x0 0，y y0 0) )，然后求其切线斜率然后求其切线斜率k kf f(x x0 0) )，写出其切线方程而写出其切线方程而“在某点处的切线在某点处的切线”就是指就是指“某点某点”为切点为切点 (3)(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲我们知道直线与曲线相切线相切，有且只有一个公共点有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确这种观点对一般曲线不一定正确 已知函数已知函数f f( (x x) )x xa ax xb b( (x x0)0)，其中其中a a，b bR.R.若曲线若曲线y yf f( (x x) )在点在点P P(2(2，f f(2)(2)处的处的切线方程为切线方程为y y3 3x x1 1，则函数则函数f f( (x x) )的解析式为的解析式为f f( (x x) )_ 解析：解析：f f(x x) )1 1a ax x2 2. .由导数的几何意义得由导数的几何意义得f f(2)(2)3 3，即即 1 1a a4 43 3，所以所以a a8.8.由切由切点点P P(2(2，f f(2)(2)在直线在直线y y3 3x x1 1 上上，得得f f(2)(2)32321 17 7，则则2 2b b7 7，解得解得b b9 9，所以函所以函数数f f( (x x) )的解析式为的解析式为f f( (x x) )x x8 8x x9(9(x x0)0) 答案：答案：x x8 8x x9(9(x x0)0) 专题二专题二 导数在研究函数单调性中的应用导数在研究函数单调性中的应用 利用导数的符号判断函数的单调性利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究是导数几何意义在研究曲曲线变化规律时的一个重要应用线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想这类问题要注意的是体现了数形结合思想这类问题要注意的是f f( (x x) )为增函数为增函数f f( (x x)0)0 且且f f(x x) )0 0 的根有有限个的根有有限个，f f( (x x) )为减函数为减函数f f0 0 且且f f(x x) )0 0 的根有有限的根有有限个个 已知函数已知函数f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2的图象经过点的图象经过点M M(1(1，4 4) )，曲线在点曲线在点M M处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x x9 9y y0 0 垂直垂直 (1)(1)求实数求实数a a，b b的值；的值； (2)(2)若函数若函数f f( (x x) )在区间上单调递增在区间上单调递增，求求m m的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)因为因为f f( (x x) )axax3 3bxbx2 2的图象经过点的图象经过点M M(1(1，4 4) )，所以所以a ab b4 4， f f( (x x) )3 3axax2 22 2bxbx，则则f f(1)(1)3 3a a2 2b b. . 由条件由条件f f(1)(1) 1 19 91 1，即即 3 3a a2 2b b9 9， 由由式解得式解得a a1 1，b b3.3. (2)(2)f f( (x x) )x x3 33 3x x2 2，f f( (x x) )3 3x x2 26 6x x 令令f f(x x) )3 3x x2 26 6x x00，得得x x00 或或x x2 2， 因为函数因为函数f f( (x x) )在区间上单调递增在区间上单调递增 所以所以 ( (，2)(02)(0，)， 解得解得m m00 或或m m112 2， 所以所以m m00 或或m m3.3. 归纳升华归纳升华 求可导函数单调区间的一求可导函数单调区间的一般步骤：般步骤： ( (1)1)确定函数确定函数f f( (x x) )的定义域；的定义域； (2)(2)求求f f(x x) )，令令f f(x x) )0 0，求出它们在定义域内的一切实数根；求出它们在定义域内的一切实数根； (3)(3)把函数把函数f f( (x x) )的间断点的间断点( (即即f f( (x x) )的无定义点的无定义点) )的横坐标和上面的各实数根按由小到大的的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来顺序排列起来，然后用这些点把函数然后用这些点把函数f f( (x x) )的定义区间分成若干个小区间；的定义区间分成若干个小区间； (4)(4)确定确定f f(x x) )在各个开区间内的符号在各个开区间内的符号，根据根据f f(x x) )的符号判定函数的符号判定函数f f( (x x) )在每个相应小在每个相应小开区间内的增减性开区间内的增减性 设函数设函数f f( (x x) )x x2 2a aln ln (1(1x x) )有两个有两个极值点极值点x x1 1，x x2 2，且且x x1 1x x2 2. .求求a a的取值范围的取值范围，并讨并讨论论f f( (x x) )的单调性的单调性 解：由题意知解：由题意知，函数函数f f( (x x) )的定义域是的定义域是 x x| |x x11， f f( (x x) )2 2x x2 22 2x xa a1 1x x， 且且f f(x x) )0 0 有两个不同的根有两个不同的根x x1 1，x x2 2， 所以方程所以方程 2 2x x2 22 2x xa a0 0 的判别式的判别式4 48 8a a0 0， 即即a a1 12 2，且且x x1 11 1 1 12 2a a2 2，x x2 21 1 1 12 2a a2 2. . 又因为又因为x x1 11 1，所以所以a a0 0，所以所以a a的取值范围是的取值范围是 0 0，1 12 2. . 当当x x变化时变化时，f f( (x x) )与与f f( (x x) )的变化情况如下表所示：的变化情况如下表所示： x x ( (1 1，x x1 1) ) x x1 1 ( (x x1 1，x x2 2) ) x x2 2 ( (x x2 2，) f f(x x) ) 0 0 0 0 f f( (x x) ) 极大值极大值 极小值极小值 所以所以f f( (x x) )在区间在区间( (1 1，x x1 1) )和和( (x x2 2，)上单调递增上单调递增，在区间在区间( (x x1 1，x x2 2) )上单调递减上单调递减 专题三专题三 导数在求函数极值与最值中的应用导数在求函数极值与最值中的应用 利用导数可求出函数的极值或最值利用导数可求出函数的极值或最值，反之反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查取值范围该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是是高考的重点内容高考的重点内容 已知函数已知函数f f( (x x) )ln ln x xa a(1(1x x) ) (1)(1)讨论讨论f f( (x x) )的单调性；的单调性； (2)(2)当当f f( (x x) )有最大值有最大值，且最大值大于且最大值大于 2 2a a2 2 时时，求求a a的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)f f( (x x) )的定义域为的定义域为(0(0，)，f f( (x x) )1 1x xa a. . 若若a a00，则则f f(x x) )0 0，所以所以f f( (x x) )在在(0(0，)上单调递增上单调递增 若若a a0 0，则当则当x x 0 0，1 1a a时时， f f( (x x) )0 0； 当当x x 1 1a a， 时，时，f f(x x) )0.0. 所以所以f f( (x x) )在在 0 0，1 1a a上单调递增上单调递增，在在 1 1a a， 上单调递减上单调递减 (2)(2)由由(1)(1)知知，当当a a00 时时，f f( (x x) )在在(0(0，)上无最大值；当上无最大值；当a a0 0 时时，f f( (x x) )在在x x1 1a a处取得处取得最大值最大值，最大值为最大值为f f 1 1a aln ln 1 1a aa a 1 11 1a aln ln a aa a1.1. 因此因此f f 1 1a a2 2a a2 2 等价于等价于 ln ln a aa a1 10.0. 令令g g( (a a) )ln ln a aa a1 1，则则g g( (a a) )在在(0(0，)上单调递增上单调递增 又又g g(1)(1)0 0， 于是于是，当当 0 0a a1 1 时时，g g( (a a) )0 0；当；当a a1 1 时时，g g( (a a) )0.0. 因此因此，a a的取值范围是的取值范围是(0(0，1 1) ) 归纳升华归纳升华 (1)(1)运用导数求可导函数运用导数求可导函数y yf f( (x x) )的极值的步骤：的极值的步骤： 先求函数的定义域先求函数的定义域，再求函数再求函数y yf f( (x x) )的导数的导数f f( (x x) )； 求方程求方程f f(x x) )0 0 的根；的根； 检查检查f f(x x) )在方程根的左右的值的符号在方程根的左右的值的符号，如果左正右负如果左正右负，那么那么f f( (x x) )在这个根处取得极在这个根处取得极大值大值，如果左负右正如果左负右正，那么那么f f( (x x) )在这个根处取得极小值在这个根处取得极小值 (2)(2)求闭区间上可导函数的最值时求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断可不再作判断，只只需要直接与端点的函数值比较即可获得需要直接与端点的函数值比较即可获得 (3)(3)当连续函数的极值点只有一个时当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值相应的极值点必为函数的最值 已知函数已知函数f f( (x x) )x xln ln x x，g g( (x x) )x x3 3axax2 2x x2(2(a aR)R) (1)(1)如果函数如果函数g g( (x x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 1 13 3，1 1 ，求函数求函数g g( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)若不等式若不等式 2 2f f( (x x)g g(x x) )2 2 恒成立恒成立，求实数求实数a a的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)g g(x x) )3 3x x2 22 2axax1 1 由题意由题意 3 3x x2 22 2axax1 10 0 的解集是的解集是 1 13 3，1 1 ， 即即 3 3x x2 22 2axax1 10 0 的两根是的两根是1 13 3和和 1.1. 将将x x1 1 或或1 13 3代入方程代入方程 3 3x x2 22 2axax1 10 0 得得a a1.1. 所以所以g g( (x x) )x x3 3x x2 2x x2.2. (2)2(2)2f f( (x x)g g(x x) )2 2 对对x x(0(0，)恒成立恒成立， 即：即：2 2x xln ln x x3 3x x2 22 2axax1 1 对对x x(0(0，)恒成立恒成立， 可得可得a aln ln x x3 32 2x x1 12 2x x对对x x(0(0，)恒成立恒成立， 设设h h( (x x) )ln ln x x3 3x x2 21 12 2x x，则则h h(x x) )1 1x x3 32 21 12 2x x2 2（x x1 1）（）（3 3x x1 1）2 2x x2 2， 令令h h(x x) )0 0，得得x x1 13 3( (舍舍) )或或x x1 1， 当当 0 0 x x1 1 时时，h h( (x x) )0 0；当；当x x1 1 时时，h h( (x x) )0 0， 所以当所以当x x1 1 时时，h h( (x x) )取得最大值取得最大值，最大值为最大值为2 2， 所以所以a a2.2. 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是 (2015(2015福建卷福建卷) )已知函数已知函数f f( (x x) )ln ln x x（x x1 1）2 22 2. . (1)(1)求函数求函数f f( (x x) )的单调递增区间；的单调递增区间； (2)(2)证明：当证明：当x x1 1 时时，f f( (x x) )x x1.1. (1)(1)解：解：f f(x x) )1 1x xx x1 1x x2 2x x1 1x x，x x(0(0，) 由由f f(x x) )0 0 得得 x x0 0，x x2 2x x1 10 0，解得解得 0 0 x x1 1 5 52 2. . 故故f f( (x x) )的单调递增区间是的单调递增区间是 0 0，1 1 5 52 2. . (2)(2)证明：令证明：令F F( (x x) )f f( (x x) )( (x x1)1)，x x(0(0，) 则有则有F F(x x) )1 1x x2 2x x. . 当当x x(1(1，)时时，F F( (x x) )0 0， 所以所以F F( (x x) )在在 当当x x 0 0，2 2时时，证明：证明：tan tan x xx x. . 证明：设证明：设f f( (x x) )tantan x xx x，x x 0 0， 2 2. . 则则f f(x x) ) sin sin x xcos cos x x1 1coscos2 2 x xsinsin2 2 x xcoscos2 2 x x1 1sinsin2 2 x xcoscos2 2 x xtantan2 2 x x0 0， 所以所以f f( (x x) )在在 0 0，2 2上是增函数上是增函数 又又f f( (x x) )tan tan x xx x在在x x0 0 处可导处可导，且且f f(0)(0)0.0. 所以当所以当x x 0 0，2 2时时，f f( (x x) )f f(0)(0)恒成立恒成立 所以所以 tan tan x xx x0 0，即即 tan tan x xx x. . 专题五专题五 定积分及其应用定积分及其应用 定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求另一个是求变速运动的路程变速运动的路程( (位移位移) )或变力所做的功或变力所做的功高考中要求较低高考中要求较低，一般只考一个小题一般只考一个小题 已知抛物线已知抛物线y yx x2 22 2x x及直线及直线x x0 0，x xa a，y y0 0 围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为4 43 3， 求求a a的值的值 解：作出解：作出y yx x2 22 2x x的图象如图所示的图象如图所示 (1)(1)当当a a0 0 时时，S S0 0a a( (x x2 22 2x x) )d dx x 1 13 3x x3 3x x2 2| |0 0a a a a3 33 3a a2 24 43 3，所以所以( (a a1)(1)(a a2)2)2 20 0， 因为因为a a0 0，所以所以a a1.1. (2)(2)当当a a0 0 时时， 若若 0 0a a22，则则 S Sa a0 0( (x x2 22 2x x) )d dx x 1 13 3x x3 3x x2 2| |a a0 0a a2 2a a3 33 34 43 3， 所以所以a a3 33 3a a2 24 40 0， 即即( (a a1)(1)(a a2)2)2 20.0. 因为因为a a0 0，所以所以a a2.2. 当当a a2 2 时时，不合题意不合题意 综上综上a a1 1 或或a a2.2. 归纳升华归纳升华 (1)(1)用微积分基本定理求定积分用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函与求原函数是互逆运算的关系来求原函数数 (2) (2) 利用利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：画出图形定积分求平面图形的面积的步骤如下：画出图形，确定图形范围；，确定图形范围；解方程解方程组求出图形交点坐标组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；，确定积分上、下限；确定被积函数确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位，注意分清函数图形的上、下位置；置；计算定积分计算定积分，求出平面图，求出平面图形面积形面积 (3)(3)利用定积分求加速度或路程利用定积分求加速度或路程( (位移位移) )， 要先根据物理知识得出被积函数要先根据物理知识得出被积函数， 再确定时间段再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果最后用求定积分方法求出结果 (1)(1)若函数若函数f f( (x x) )在在 R R 上可导上可导，f f( (x x) )x x3 3x x2 2f f(1)(1)，则则2 20 0f f( (x x)d)dx x _； (2)(2)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中，直线直线y ya a( (a a0)0)与抛物线与抛物线y yx x2 2所围成的封闭图形的面积所围成的封闭图形的面积为为8 8 2 23 3，则则a a_ 解析：解析：(1)(1)因为因为f f( (x x) )x x3 3x x2 2f f(1)(1)， 所以所以f f(x x) )3 3x x2 22 2xfxf(x x) )， 所以所以f f(1)(1)3 32 2f f(1)(1)， 所以所以f f(1)(1)3 3， 所以所以2 20 0f f( (x x) )d dx x 1 14 4x x4 41 13 3x x3 3f f（1 1） | |2 20 04.4. (2)(2)由由 y yx x2 2，y ya a可得可得A A( (a a，a a) )，B B( (a a，a a) )， S S ( (a ax x2 2) )d dx x axax1 13 3x x3 3| | 2 2 a a a a1 13 3a a a a4 4a a3 32 23 38 8 2 23 3， 解得解得a a2.2. 答案：答案：(1)(1)4 4 (2)2(2)2 专题六专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化思想在导数中的应用 化归与转化就是在处理问题时化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答最终求得问题的解答 设设f f( (x x) )e ex x1 1axax2 2，其中其中a a为正实数为正实数 (1)(1)当当a a4 43 3时时，求求f f( (x x) )的极值点；的极值点； (2)(2)若若f f( (x x) )为为 R R 上的单调函数上的单调函数，求求a a的取值范围的取值范围 解：解：(1)(1)对对f f( (x x) )求导得求导得f f(x x) )e ex x1 1axax2 22 2axax（1 1axax2 2）2 2. . 当当a a4 43 3时时， 若若f f(x x) )0 0，则则 4 4x x2 28 8x x3 30 0， 解得解得x x1 13 32 2，x x2 21 12 2. . 综合综合，可知：可知： x x ，1 12 2 1 12 2 1 12 2，3 32 2 3 32 2 3 32 2， f f( (x x) ) 0 0 0 0 f f( (x x) ) 极大值极大值 极小值极小值 所以所以，x x1 13 32 2是极小值点是极小值点，x x2 21 12 2是极大值点是极大值点 (2)(2)若若f f( (x x) )为为 R R 上的单调函数上的单调函数， 则则f f(x x) )在在 R R 上不变号上不变号，结合结合与条件与条件a a0 0， 知知axax2 22 2axax1010 在在 R R 上恒成立上恒成立， 因此因此4 4a a2 24 4a a4 4a a( (a a1)01)0， 由此并结合由此并结合a a0 0，知知 0 0a a1.1. 归纳升华归纳升华 本题中本题中，将将f f( (x x) )为为 R R 上的单调函数转化为其导数上的单调函数转化为其导数f f( (x x) )0 0 在在 R R 恒成立恒成立，使问题得以解使问题得以解决与函数相关的问题中决与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见化归与转化思想随处可见，如如，函数在某区间上单调可转化为函函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等不等式的证明可转化为最值问题等 如果函数如果函数f f( (x x) )2 2x x2 2ln ln x x在定义域内的一个子区间在定义域内的一个子区间( (k k1 1，k k1)1)上不是单调函数上不是单调函数，则则实实数数k k的取值范围是的取值范围是_ 解析：显然函数解析：显然函数f f( (x x) )的定义域为的定义域为(0(0，)，y y 4 4x x1 1x x4 4x x2 21 1x x. . 由由y y0 0，得函数得函数f f( (x x) )的单调递增区间为的单调递增区间为 1 12 2， ； 由由y y0 0，得函数得函数f f( (x x) )的单调递减区间为的单调递减区间为 0 0，1 12 2， 由于函数在区间由于函数在区间( (k k1 1，k k1)1)上不是上不是单调函数单调函数， 所以所以 k k1 11 12 2k k1 1，k k1010， 解得解得 11k k3 32 2. . 答案：答案： 1 1，3 32 2