高三理科数学 一轮总复习第十五章　复　数教师用书

第十五章复数高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.本章难点：运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位. 知识网络15.1复数的概念及其运算典例精析题型一复数的概念【例1】 (1)如果复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m；(2)在复平面内，复数对应的点位于第象限； (3)复数z3i1的共轭复数为.【解析】 (1)(m2i)(1mi)m2m(1m3)i是实数1m30m1.(2)因为1i，所以在复平面内对应的点为(1，1)，位于第四象限.(3)因为z13i，所以13i.【点拨】 运算此类题目需注意复数的代数形式zabi(a，bR)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.【变式训练1】(1)如果z为纯虚数，则实数a等于()A.0B.1C.1D.1或1 (2)在复平面内，复数z(i是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(1)设zxi，x0，则xi1ax(ax)i0或故选D.(2)z(1i)(i)1i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.题型二复数的相等【例2】(1)已知复数z032i，复数z满足z·z03zz0，则复数z；(2)已知1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni；(3)已知关于x的方程x2(k2i)x2ki0有实根，则这个实根为，实数k的值为. 【解析】(1)设zxyi(x，yR)，又z032i， 代入z·z03zz0得(xyi)(32i)3(xyi)32i，整理得 (2y3)(22x)i0，则由复数相等的条件得 解得所以z1. (2)由已知得m(1ni)(1i)(1n)(1n)i.则由复数相等的条件得所以mni2i.(3)设xx0是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的充要条件得解得或所以方程的实根为x或x， 相应的k值为k2或k2.【点拨】复数相等须先化为zabi(a，bR)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若abi(a，bR)，则ab的值是()A.B.2C.2D.(2)若(a2i)ibi，其中a，bR，i为虚数单位，则ab.【解析】(1)C.，于是ab2.(2)3.2aibia1，b2.题型三复数的运算 【例3】 (1)若复数zi， 则1zz2z3z2 008；(2)设复数z满足z|z|2i，那么z.【解析】 (1)由已知得z2i，z31，z4i z.所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.所以1zz2z3z2 0081z(z2z3z4)(z2 006z2 007z2 008)1zi.(2)设zxyi(x，yR)，则xyi2i，所以解得所以zi. 【点拨】 解(1)时要注意x31(x1)(x2x1)0的三个根为1，其中i，i， 则120， 120 ，31，31，·1，2，2.解(2)时要注意|z|R，所以须令zxyi.【变式训练3】(1)复数等于()A. B.C.D.(2)(20xx江西鹰潭)已知复数z()2 010，则复数z等于()A.0B.2C.2iD.2i【解析】(1)D.计算容易有. (2)A.总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：加减法按合并同类项法则进行；乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设zabi(a，bR)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.