大学物理（上）：第3章 刚体的定轴转动

1第三章第三章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动2刚体：刚体：有质量、有大小和形状但不会发生形变的理有质量、有大小和形状但不会发生形变的理想物体。想物体。 刚体可以看作是由许许多多刚体可以看作是由许许多多的质点所组成的，每一个质点的质点所组成的，每一个质点叫作刚体的一个质元。刚体上叫作刚体的一个质元。刚体上任意两个质元间的距离在运动任意两个质元间的距离在运动过程中都保持不变。过程中都保持不变。刚体是一个内部各质点相对位置保持不变的质点系。刚体是一个内部各质点相对位置保持不变的质点系。强调：强调：刚体也是理想化的模型，是实际物体在一定条刚体也是理想化的模型，是实际物体在一定条件下的抽象。件下的抽象。33.1 3.1 刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述3.1.1 3.1.1 刚体的运动刚体的运动 刚体的平动：刚体的平动：刚体在运动过程中，其刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。上任意两点的连线始终保持平行。 可以用质点动力学的方法可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。来处理刚体的平动问题。刚体的定轴转动：刚体的定轴转动：刚体上各点都绕同刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身在空一直线作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的一种转动。间的位置保持不动的一种转动。这条这条直线称为直线称为转轴转轴。43.1.2 3.1.2 定轴转动刚体的角量描述定轴转动刚体的角量描述 oPx 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便。来描述刚体的定轴转动较为方便。 在转动平面内，过在转动平面内，过O点作一极轴，设极点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右。轴的正方向是水平向右。 过过P作垂直于转轴的横截面（转动作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面与转轴的交点为平面），转动平面与转轴的交点为O。连接连接OP，OP与极轴之间的夹角为与极轴之间的夹角为 。 质点所在的矢径与质点所在的矢径与x 轴的夹角。轴的夹角。 角位置角位置 ：转动方程：转动方程： = (t)5oPxdtd角速度：角速度：质点的角位移质点的角位移 ： t时间内时间内质质点矢径转点矢径转过的角度过的角度 。角加速度角加速度22dtddtd 定轴转动刚体角速度的方向只有两个，可用正负定轴转动刚体角速度的方向只有两个，可用正负数值表示角速度的方向。数值表示角速度的方向。 角速度是矢量。其方向满足右手定则：沿质点转角速度是矢量。其方向满足右手定则：沿质点转动方向右旋大拇指指向。动方向右旋大拇指指向。 角加速度是矢量，对于定轴转动刚体角加速度是矢量，对于定轴转动刚体可以用正负数值表示角加速度的方向。可以用正负数值表示角加速度的方向。强调：强调：刚体刚体的定轴转动的定轴转动只能用角量只能用角量描述。描述。6定轴转动刚体上任一点的速度和加速度定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 xosRpp路程与角位移之间的关系：路程与角位移之间的关系：Rs线速度与角速度的关系：线速度与角速度的关系：Rv加速度与角量的关系：加速度与角量的关系：dtdvatRvan2,RdtdR,2R匀变速圆周运动的基本公式匀变速圆周运动的基本公式t020021tt)(2020273.2 3.2 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律3.2.1 3.2.1 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 1.1.力对转轴的矩力对转轴的矩FrM 这种情况相当于质点绕固定点这种情况相当于质点绕固定点O转转动的情形。动的情形。（1）力垂直于转轴）力垂直于转轴OPdrrFM（2）力与转轴不垂直）力与转轴不垂直FF转轴转轴o rFz转动平面转动平面 可以把力分解为平行于转轴的分可以把力分解为平行于转轴的分量和垂直于转轴的分量。量和垂直于转轴的分量。 平行转轴的力对转轴的力矩为零。平行转轴的力对转轴的力矩为零。FrM82.力作用线与转轴相交或平行时力对该轴的矩为零；力作用线与转轴相交或平行时力对该轴的矩为零；3.同一个力对不同的转轴的矩不一样；同一个力对不同的转轴的矩不一样；4.注意合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。注意合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。力矩的计算力矩的计算1.研究力对轴的矩时，可用正负号表示力矩的方向。研究力对轴的矩时，可用正负号表示力矩的方向。 计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定计算力对某一转轴的力矩，若力的作用点不固定在同一处，则应当采取分小段的办法，先计算每一小在同一处，则应当采取分小段的办法，先计算每一小段上的作用力产生的矩，再求和。段上的作用力产生的矩，再求和。说明：说明：9例：例：一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为l质量为质量为m，在摩擦系数为，在摩擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻阻。解：解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩因离轴的具体不同而不同阻力矩因离轴的具体不同而不同mlodmdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm质元质量质元质量dxdm质元所受阻力矩：质元所受阻力矩：dmgxdM阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩阻阻dMM221glmgl21lgxdx0102.2.刚体的定轴转动定律刚体的定轴转动定律 考虑刚体上某一质元考虑刚体上某一质元 ，imiiiiamfF 刚体外其他物体对它的合作刚体外其他物体对它的合作用力用力(外力外力)为为 ，刚体上其它质，刚体上其它质元对它的作用力为元对它的作用力为 ，iFifim对对 用牛顿第二定律：用牛顿第二定律：iniininamfF 法向力作用线通过转轴，力矩为零。法向力作用线通过转轴，力矩为零。itiititamfF 只考虑合外力与内力均在转只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。动平面内的情形。 法向：法向：切向：切向：iFifimoz),(itFinFitfinf11itiititamfF切向：切向：两边乘以两边乘以ri , ,有：有：iitiiitiitramrfrF对所有质元的同样的式子求和，有：对所有质元的同样的式子求和，有：imiFitFirFitfifoz),(iitiiitiitramrfrF)(2iirm表示内力矩之和，其值等于零表示内力矩之和，其值等于零iitrf表示合外力矩，记作表示合外力矩，记作MiitrF称为刚体对轴的转动惯量，记作称为刚体对轴的转动惯量，记作J)(2iirm则上式可简写成：则上式可简写成：JM 12刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：刚体所受的对于某一固定转动刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。JM 说明说明: :1. 上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。上式是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。2. M、J、 是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。5. 转动惯量转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。4. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。3. 上式反映了力矩的瞬时效应。上式反映了力矩的瞬时效应。dtdJJM133.2.2 3.2.2 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 iiiJrmJ)(2转动惯量转动惯量 刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。布以及转轴的位置有关。 在（在（SI）中，）中，J J的单位：的单位：kgm2质量连续分布的刚体：质量连续分布的刚体： dJJdmdm为质量元，简称质元。为质量元，简称质元。其计算方法如下：其计算方法如下：dmr2dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为线分布质量为面分布质量为面分布质量为体分布质量为体分布其中其中 、 、 分别为分别为质量的线密度、面质量的线密度、面密度和体密度。密度和体密度。14例：例：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面的的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量质心轴转动，求转动惯量J。RMo解：解：dmMdmRJ02分割质量元分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，圆环上各质量元到轴的距离相等，MdmR022MR绕圆环质心轴的转动惯量为绕圆环质心轴的转动惯量为2MRJ 讨论：讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动惯量。惯量。15oR例例: : 一质量为一质量为m，半径为，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。rdrdm2dmrdJ2drr32RdrrdJJ03224Rrdr解：解：2Rm 221mR16例：例：如图所示，一质量为如图所示，一质量为m、长为、长为l的均质空心圆柱体的均质空心圆柱体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和和R2。试求对。试求对几何轴几何轴oz的转动惯量的转动惯量J。1R2Rrdrozll )rdr(dVdm,drrl,)RrR( r221则该质元的质量为厚度为半径为其长为柱壳形状的质元取一薄圆处在半径为解：lRRm)(2122圆筒的体密度)RR(l4142221322RRmdrrldmrJ)(212221RRmJ22121, 0mRJRRR若221,mRJRRR若17例：例：求长度为求长度为L，质量为，质量为m的均匀细棒的均匀细棒AB的转动惯量。的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。dmxJA2231mLLdxx02解解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：细杆为线质量分布，单位长度的质量为：lm331L（2）对于通过棒的中心的轴对于通过棒的中心的轴dmxJc22121mL3121L2)2(LmJJCAoABdmxdxLxoABdmxdx2L2LCx2/2/2LLdxx18平行轴定理平行轴定理式中：式中：JC表示相对通过表示相对通过质心质心的轴的转动惯量，的轴的转动惯量，JA表示表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。 刚体绕平行于质心轴的转动刚体绕平行于质心轴的转动惯量惯量J，等于绕质心轴的转动惯，等于绕质心轴的转动惯量量JC 加上刚体质量与两轴间的距加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。离平方的乘积。JmCJdC2mdJJC刚体绕质心轴的转动惯量最小。刚体绕质心轴的转动惯量最小。2)2(LmJJCA19例：例：计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为半径为r，摆杆质量也为，摆杆质量也为m，长度为，长度为2r。）。）rO解：解：摆杆转动惯量：摆杆转动惯量：22134231mrrmJ摆锤转动惯量：摆锤转动惯量：22222219321mrrmmrmdJJC2222166521934mrmrmrJJJ203.2.3 3.2.3 刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用 例例: :一个质量为一个质量为m1、半径为、半径为R的定滑轮的定滑轮( (当作当作均匀圆盘均匀圆盘) )上面绕有细绳，绳的一端固定在上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为滑轮边上，另一端挂一质量为2的物体而的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体下垂。忽略轴处摩擦，求物体2由静止下由静止下落高度落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。时的速度和此时滑轮的角速度。解：解：Ra22,21RmJ JTRMgmmma21222122241mmghmRRv mmghmhav1222242定轴定轴0Rhm2绳绳Tm2g对对m1：对对m2：解方程得：解方程得： amTgm22221例：例：两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小圆盘的半径为盘的半径为r，质量为，质量为m；大圆盘的半径；大圆盘的半径r=2r，质量，质量m = 2m。组。组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转动，转动，对对o轴的转动惯量轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为细绳下端各悬挂质量为m的物体的物体A和和B，这一系统从静止开始运动，这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：求：（1）组合轮组合轮的角加速度；的角加速度；（2）当物体上升当物体上升h=0.4m时，组合轮的角速度。时，组合轮的角速度。,ra 2srad3 .10)19(2:rg解得rh:,)2(则为组合轮转过的角度设121208922srad.)rh(解：解：(1)aTTTTamgmg29)2(2mrTrrT)2( ra amTmgmamgTrm,rm,ABO22例：例：一质量为一质量为m，长为，长为l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，距点，距A端端 l/3 处。今使棒从静止开始由水平位置绕处。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，点转动，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度）水平位置的角速度和角加速度;（2）垂直位）垂直位置时的角速度和角加速度置时的角速度和角加速度。解：解：2mdJJCO222916121mllmml棒受到的重力矩棒受到的重力矩OBACmg任意角度任意角度 ：cos6lmgM lgJMO2cos3,ddJdtdJMddmllmg291cos6有：有：23ddmllmg291cos6dlgdcos23dlgdcos2300, 0sin3lgOBACmg（1）水平位置水平位置 =0即：即：两边积分：两边积分：解得：解得：lglg232cos3lgsin3（2）垂直位置垂直位置 = /2,3sin3lglg02cos3lg243.3 3.3 定轴转动刚体的功和能定轴转动刚体的功和能1.1.力矩的功力矩的功oPFddsrz0MdA结论：结论：刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体做的刚体绕定轴转动时，力矩对转动物体做的功等于相应力矩和角位移的乘积。功等于相应力矩和角位移的乘积。刚体在力刚体在力 作用绕轴转过一微小角位移作用绕轴转过一微小角位移d ，FrdFdA| )2cos(rdF|sinrdFdsFsindFrsinMFrsinMddA 力力 使刚体由使刚体由 0转到转到 时，力矩的功为：时，力矩的功为：F力矩功力矩功25说明：说明：z第第i个质元的动能：个质元的动能： 2222121rmvmEiiiiki整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能：)21(22rmEEiikik22)(21iirm221J0MdA1.1.力矩功不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。力矩功不是新概念，只是力的功的另一种表达方式。2.2.内力矩对定轴转动刚体所做的功为零。内力矩对定轴转动刚体所做的功为零。2.2.刚体的动能刚体的动能miiriv263.3.定轴转动刚体的动能定理定轴转动刚体的动能定理设在外力矩设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移的作用下，刚体绕定轴发生角位移d 元功：元功：MddA由转动定律由转动定律dtdJJMdJdtddJdA有：有：21dJA21222121JJ刚体绕定轴转动的动能定理：刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。的功等于刚体转动动能的增量。 对上式积分，可得：对上式积分，可得：27mocmgNA0vhdlmgdAsin2)cos1 (2sin20mlmgdlmgAmmghAlhm21)cos1 (代入上式得将例：例： 一长为一长为l ，质量为，质量为m的均匀细长杆的均匀细长杆O A ，可绕通过其一端点，可绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点的水平轴在铅垂面内自由摆动，已知另一端点A过最低点时的速过最低点时的速率为率为v0，杆对通过端点，杆对通过端点O而垂直于杆长的轴的转动惯量而垂直于杆长的轴的转动惯量 J=ml2/3 ，若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时若空气阻力及轴上的摩擦力都可以忽略不计，求杆摆动时A点升点升高的最大高度。高的最大高度。解：解：轴对杆的支承力轴对杆的支承力N过过O点，其力矩为零。点，其力矩为零。任意角度任意角度 ，重力矩为，重力矩为sin2lmgM gvh320220202121021:lvJJmgh由转动动能定理得284. 4. 刚体的重力势能刚体的重力势能iipghmE hc-质心的高度质心的高度cmghmhmmgiimimchihc结论：结论：刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场刚体的重力势能可按质心携带总质量在重力场中的势能来计算。中的势能来计算。5. 5. 定轴转动刚体的功能原理定轴转动刚体的功能原理质点系的功能原理：质点系的功能原理：EEEAApk)(非保内外 0外A若若 ，EEEApk)(外刚体：刚体：, 0非保内A常量0EE有：有：机械能守恒定律机械能守恒定律293.4 3.4 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 3.4.1 3.4.1 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理 1.1.定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量irPov 以角速度以角速度作定轴转动的刚体内取一作定轴转动的刚体内取一质点质点 mi，则其对轴的角动量为：则其对轴的角动量为：rmvmrLiiiiii2 刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动量都具刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动量都具有相同的方向。有相同的方向。)(2iiirmLL定轴转动刚体的角动量：定轴转动刚体的角动量：)(2iirmJ30刚体定轴转动定律：刚体定轴转动定律：JM dtdJdtJd)(dtdLdtdLM结论：结论：定轴转动刚体所受的合外力矩定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。等于刚体的角动量对时间的变化率。定轴转动刚体角动量定轴转动刚体角动量定理微分形式定理微分形式将将dtdLM两边乘以两边乘以dt并积分，得：并积分，得：000LLdLMdtLLtt结论：结论：作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动作用在刚体上的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。量的增量。定轴转动刚体角动量定轴转动刚体角动量定理积分形式定理积分形式2.2.定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理说明：说明：定轴转动定轴转动刚体的角动量定刚体的角动量定理也可以由质点理也可以由质点系的角动量定理系的角动量定理得到。得到。313.4.2 3.4.2 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 恒量 JL0M当当时，则时，则1221LLMdttt刚体对定轴的角动量定理刚体对定轴的角动量定理,dtdLM 定轴转动刚体的角动量守恒定律：定轴转动刚体的角动量守恒定律：当刚体所受的外力当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。量保持不变。 注意：注意：角动量守恒定律不仅适用于刚体，同样也适用角动量守恒定律不仅适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。于绕定轴转动的任意物体系统。 强调：强调：对定轴转动的刚体，角动量守恒的条件是所受对定轴转动的刚体，角动量守恒的条件是所受的合外力矩为零，而不是冲量矩为零。的合外力矩为零，而不是冲量矩为零。32（1 1）对于定轴转动的刚体，其转动惯量）对于定轴转动的刚体，其转动惯量J J为常数，为常数，刚刚体所受合外力矩为零时，角速度体所受合外力矩为零时，角速度将保持不变，刚体将保持不变，刚体保持静止或匀角速转动保持静止或匀角速转动。（2 2）对于）对于定轴转动的定轴转动的非刚体，转动惯量非刚体，转动惯量是变化的。角动量守恒，即是变化的。角动量守恒，即J J和和的乘积的乘积保持不变保持不变。J ，J 1.1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。度的乘积不变。2. 2. 当研究的是质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和当研究的是质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于系统所受的合外刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于系统所受的合外力矩为零，所以可对系统应用角动量守恒定律。力矩为零，所以可对系统应用角动量守恒定律。说明：说明：33例：例：在摩擦系数为在摩擦系数为 的的桌面上有桌面上有质量为质量为m、长度为、长度为l的均匀的均匀细杆，细杆，细杆细杆以初始角速度以初始角速度 0 绕垂直于杆绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。时间停止转动。解：解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。分割质量元分割质量元细杆的质量密度为：细杆的质量密度为：lm/dxdm质元受的摩擦力矩质元受的摩擦力矩dmgxdM细杆受的摩擦力矩细杆受的摩擦力矩2/02ldMMmgl41olm,0dmxdxx2/l2/l34始末两态的角动量为：始末两态的角动量为：, 00JL 由角动量定理：由角动量定理：00LLMdttt00041Jmgldtt0212141mlmgltglt30本题也可用运动学方法求解，由本题也可用运动学方法求解，由 M=J 和和 = 0+ t， 求出求出 t = - 0/ 。0Lolm,0dmxdxx2/l2/l35o1o 2例：例：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0=60kgm2，伸臂时伸臂时臂长为臂长为1m，收臂时臂长为，收臂时臂长为 0.2m。人站在摩擦。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量质量m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度的哑铃。伸臂时转动角速度 1 =3rad/s，求收臂时的角速度，求收臂时的角速度 2 （设手臂质量不（设手臂质量不计）计）。解：解：整个过程合外力矩为零，角动量守恒整个过程合外力矩为零，角动量守恒2211JJ21012mlJJ22022mlJJ2mkg702mkg4 .602112JJ4 .60703)/(5 . 3srad由于转动惯量减小，由于转动惯量减小，角速度增加。角速度增加。36例例 有一长为有一长为l，质量为，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点滑水平桌面上，它可绕通过其端点O，且与桌面垂直，且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为的固定光滑轴转动。另有一质量为m2 、水平运动的、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和和u，则碰撞后棒，则碰撞后棒绕轴转动的角速度绕轴转动的角速度 为多大？为多大？1m2mvuOA.,:碰撞前后角动量守恒矩作用则系统不受外力间摩擦阻力矩对于整个系统不考虑轴解ulmJvlm222131lmJO转动的转动惯量为细棒绕lmmuv12)(3代入上式求得37lmumo解：解：假设小球碰后瞬时的假设小球碰后瞬时的速度向上，杆的角速度速度向上，杆的角速度 肯肯定如图。定如图。例：例：质量质量m长长l的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴定轴O转动，如果一质量为转动，如果一质量为m的小球以速度的小球以速度 竖直落到竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。求：碰后求：碰后小球的速度及杆的角速度。小球的速度及杆的角速度。u 以小球以小球+ +细杆组成的系统为研究对象，细杆组成的系统为研究对象，M外外=0 ，系统系统的角动量守恒的角动量守恒 轴处的力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩轴处的力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略，相比可以忽略，v ) 1 (2)121(22lvmmllum38因为弹性碰撞因为弹性碰撞, , 机械能能守恒机械能能守恒)2(21)121(21212222vmmlum联立解得：联立解得：,33mmummvlmmum)3(6讨论：讨论：当当 m 3m时时,v 0（向上）（向上）当当 m =3m时时, v = 0（瞬时静止）（瞬时静止）当当 m 3m 时时,v 0（向下）（向下）) 1 (2)121(22lvmmllumlmumov 39例例 如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态，令它自静止状态下下落落, ,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度下端达到的高度h。mlhol解解: :碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为002ghv 令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为 ，摆锤，摆锤的速度为的速度为v。2031)(mlJvvml由角动量守恒，有：由角动量守恒，有：40在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的: :lvvv23,200二式联立解得：二式联立解得：222021)(21Jvvm按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为40hh 而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到的高度满足cmghJ2212320hhhc由此可解得由此可解得2031)(mlJvvmlchchh