资源描述
专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围能力突破训练1.设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)=(x2-2x+1)ex(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)定义:若函数h(x)在区间s,t(s<t)上的取值范围为s,t,则称区间s,t为函数h(x)的“域同区间”.试问函数f(x)在(1,+)上是否存在“域同区间”?若存在,求出所有符合条件的“域同区间”;若不存在,请说明理由.3.已知函数f(x)=ax+xln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,nN*)时,证明:nmmn>mn.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中aR.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>1x-e1-x在区间(1,+)内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).5.设函数f(x)=aln x,g(x)=12x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)(a+3)x-g(x)在x1,e内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式mg(x1)-g(x2)>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(mZ,m1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.思维提升训练7.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1(aR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12.参考答案专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围能力突破训练1.解(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x(0,+).则g'(x)=1x-2a=1-2axx,当a0时,x(0,+)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x0,12a时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x12a,+时,函数g(x)单调递减.所以当a0时,g(x)的单调增区间为(0,+);当a>0时,g(x)单调增区间为0,12a,单调减区间为12a,+.(2)由(1)知,f'(1)=0.当a0时,f'(x)单调递增,所以当x(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x(1,+)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当0<a<12时,12a>1,由(1)知f'(x)在区间0,12a内单调递增,可得当x(0,1)时,f'(x)<0,x1,12a时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间1,12a内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.当a=12时,12a=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减,所以当x(0,+)时,f'(x)0,f(x)单调递减,不合题意.当a>12时,0<12a<1,当x12a,1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x(1,+)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>12.2.解(1)f'(x)=(x2-1)ex,令f'(x)=0解得x=-1或x=1,因为ex>0,且在区间(-,-1)和(1,+)内f'(x)>0,在区间(-1,1)上f'(x)<0,所以函数f(x)=(x2-2x+1)ex的单调递增区间是(-,-1)和(1,+),单调递减区间是(-1,1).(2)由(1)知函数f(x)=(x2-2x+1)ex在区间(1,+)上单调递增,若存在“域同区间”s,t(1<s<t),则必有f(s)=s且f(t)=t,也就是说方程(x2-2x+1)ex=x在区间(1,+)上至少存在两个不等的实数根.方程可以转化为x2-2x+1=xex,令g(x)=xex,g'(x)=1-xex,显然x>1使得g'(x)<0恒成立,g(x)=xex在区间(1,+)内是单调递减的,且g(x)<g(1)=1e;但二次函数h(x)=x2-2x+1在区间(1,+)内是单调递增的,且h(x)>h(1)=0;所以g(x),h(x)的图象在区间(1,+)内有唯一的交点,方程x2-2x+1=xex即(x2-2x+1)ex=x在区间(1,+)内不存在两个不等的实数根,因此函数f(x)在(1,+)内不存在“域同区间”.3.解(1)f(x)=ax+xlnx,f'(x)=a+lnx+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,f'(e)=3,即a+lne+1=3,a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,若f(x)kx2对任意x>0成立,则k1+lnxx对任意x>0成立.令g(x)=1+lnxx,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)=1x·x-(1+lnx)x2=-lnxx2.令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,g(x)在区间(1,+)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,k1即为所求.(3)令h(x)=xlnxx-1,则h'(x)=x-1-lnx(x-1)2.由(2)知,x1+lnx(x>0),h'(x)0,h(x)是区间(1,+)内的增函数.n>m>1,h(n)>h(m),即nlnnn-1>mlnmm-1,mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn.整理,得ln(mnn)m>ln(nmm)n.(mnn)m>(nmm)n,nmmn>mn.4.解(1)f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0).当a0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=12a.此时,当x0,12a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x12a,+时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s'(x)=ex-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+)内恒成立时,必有a>0.当0<a<12时,12a>1.由(1)有f12a<f(1)=0,而g12a>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+)内不恒成立.当a12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x1).当x>1时,h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0.因此,h(x)在区间(1,+)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a12,+.5.解(1)不等式f(x)+2g'(x)(a+3)x-g(x),即alnx+2x(a+3)x-12x2,化简,得a(x-lnx)12x2-x.由x1,e知x-lnx>0,因而a12x2-xx-lnx.设y=12x2-xx-lnx,则y'=(x-1)(x-lnx)-1-1x12x2-x(x-lnx)2=(x-1)12x+1-lnx(x-lnx)2.当x(1,e)时,x-1>0,12x+1-lnx>0,y'>0在x1,e时成立.由不等式有解,可得aymin=-12,即实数a的取值范围是-12,+.(2)当a=1时,f(x)=lnx.由mg(x1)-g(x2)>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=m2x2-xlnx(x>0).由题意知x1>x2>0,则当x(0,+)时函数t(x)单调递增,t'(x)=mx-lnx-10恒成立,即mlnx+1x恒成立.因此,记h(x)=lnx+1x,得h'(x)=-lnxx2.函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+)上单调递减,函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m1,结合已知条件mZ,m1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2lnx-21+ax,所以g'(x)=2-2x+2ax2=2x-122+2a-14x2.当0<a<14时,g(x)在区间0,1-1-4a2,1+1-4a2,+内单调递增,在区间1-1-4a2,1+1-4a2内单调递减;当a14时,g(x)在区间(0,+)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2lnx-21+ax=0,解得a=x-1-lnx1+x-1.令(x)=-2x+x-1-lnx1+x-1lnx+x2-2x-1-lnx1+x-1x-2x-1-lnx1+x-12+x-1-lnx1+x-1.则(1)=1>0,(e)=-e(e-2)1+e-1-2e-21+e-12<0.故存在x0(1,e),使得(x0)=0.令a0=x0-1-lnx01+x0-1,u(x)=x-1-lnx(x1).由u'(x)=1-1x0知,函数u(x)在区间(1,+)内单调递增.所以0=u(1)1+1<u(x0)1+x0-1=a0<u(e)1+e-1=e-21+e-1<1.即a0(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+)内单调递增,故当x(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x(x0,+)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x(1,+)时,f(x)0.综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0在区间(1,+)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.思维提升训练7.解(1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为=4-4a,当a1时,0,则f'(x)0,此时f(x)在R上是增函数;当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-1-a,x2=-1+1-a,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-1-a或x>-1+1-a,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-1-a<x<-1+1-a,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1+1-a).综上所述,当a1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,+);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-,-1-1-a)和(-1+1-a,+),单调递减区间为(-1-1-a,-1+1-a).(2)f(x0)-f12=13x03+x02+ax0+1-13·123-122-a·12-1=13x03-123+x02-122+ax0-12=13x0-12x02+x02+14+x0-12·x0+12+ax0-12=x0-12·x023+x06+112+x0+12+a=112x0-12(4x02+14x0+7+12a).若存在x00,1212,1,使得f(x0)=f12,则4x02+14x0+7+12a=0在0,1212,1内有解.由a<0,得=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,故方程4x02+14x0+7+12a=0的两根为x1'=-7-21-48a4,x'2=-7+21-48a4.由x0>0,得x0=x'2=-7+21-48a4,依题意,0<-7+21-48a4<1,即7<21-48a<11,所以49<21-48a<121,即-2512<a<-712,又由-7+21-48a4=12得a=-54,故要使满足题意的x0存在,则a-54.综上,当a-2512,-54-54,-712时,存在唯一的x00,1212,1满足f(x0)=f12,当a-,-2512-54-712,0时,不存在x00,1212,1满足f(x0)=f12.
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