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跟踪强化训练(二十五)一、选择题1与圆x2y21及x2y28x120都外切的圆的圆心在()A一个椭圆上 B双曲线的一支上C一条抛物线上 D一个圆上解析圆x2y28x120的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知，动圆的圆心在双曲线的一支上故选B.答案B2(20xx·重庆模拟)设A，P是椭圆y21上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则·()A0 B1 C. D2解析依题意，将点P特殊化为点(，0)，于是点M，N均与点(，0)重合，于是有·2，故选D.答案D3已知椭圆E：1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式作差并化简变形得，而，x1x22，y1y22，所以a22b2，又a2b2c29，于是a218，b29.故选D.答案D4(20xx·广东珠海模拟)过抛物线y22px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于()A5 B4 C3 D2解析因为抛物线y22px(p>0)，所以它的焦点坐标为，因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的方程为y0，即yxp.设直线与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AF|x1，|BF|x2，联立方程组消去y并整理，得12x220px3p20，解得x1，x2，|AF|x12p，|BF|x2，|AF|BF|31，的值为3.答案C5(20xx·河北石家庄二模)已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B1 C2 D4解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y±x，又直线l与两条渐近线交于A，B两点，故可设A(x1，x1)，B(x2，x2)，且|OA|x1|，|OB|x2|，AB的中点坐标为.又点A，B的中点在双曲线x2y22上，222x1x22.显然AOB是直角三角形，SAOB|OA|·|OB|×|x1|·|x2|x1x22.故选C.答案C6(20xx·南昌联考)已知椭圆1(a>b>0)，A，B为椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则椭圆的离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则即所以(x1x2)(xx)，所以x1x2.又ax1a，ax2a，x1x2，所以2a<x1x2<2a，则<2a，即<，所以e2>.又0<e<1，所以<e<1.答案D二、填空题7椭圆C：1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是，则直线PM的斜率为_解析设P(x0，y0)，则1，直线PM的斜率kPM，直线PN的斜率kPN，可得kPM·kPN，故kPM·3.答案38(20xx·郑州一模)如图，F1，F2是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_解析ABF2为等边三角形，|AB|AF2|BF2|，F1AF260°.由双曲线的定义可得|AF1|AF2|2a，|BF1|2a.又|BF2|BF1|2a，|BF2|4a.|AF2|4a，|AF1|6a.在AF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF2|·|AF1|cos60°，(2c)2(4a)2(6a)22×4a×6a×，整理得c27a2，e.答案9(20xx·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为_解析解法一：设M(x，y)，P(x0，y0)，则y2px0，焦点F.根据题意，2，(xx0，yy0)，所以所以kOM(当且仅当y2p2时，等号成立)解法二：如图，在x轴上取点N(p,0)，连接PN，OM，则kPNkOM.设P(x，y)，则kOMkPN，当且仅当y22p2时等号成立答案三、解答题10(20xx·唐山统考)已知动点P到直线l：x1的距离等于它到圆C：x2y24x10的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，设AB的中点为D，求的取值范围解(1)由已知得，圆心为C(2,0)，半径r.设P(x，y)，依题意可得|x1|，整理得y26x.故曲线E的方程为y26x.(2)设直线AB的方程为myx2，则直线CQ的方程为ym(x2)，可得Q(1,3m)将myx2代入y26x并整理可得y26my120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y26m，y1y212，D(3m22,3m)，|QD|3m23.|AB|2，所以2，故.11(20xx·宝鸡市高三质量检测)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·0，求|的取值范围解(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2的面积取得最大值，此时SPF1F2|F1F2|·|OP|bc，bc4，因为e，所以b2，a4，所以椭圆方程为1.(2)由(1)得，F1的坐标为(2,0)，因为·0，所以ACBD，当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|6814.当直线AC的斜率k存在且k0时，设其方程为yk(x2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)由得(34k2)x216k2x16k2480，x1x2，x1x2.|x1x2|，此时直线BD的方程为y(x2)同理由可得|，|，令tk21，则|(t>1)，因为t>1,0<，所以|，综上，|的取值范围是.12(20xx·石家庄市一模)如图，已知椭圆C：y21的左顶点为A，右焦点为F，O为坐标原点，M，N是y轴上的两个动点，且MFNF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点(1)求MFN的面积的最小值；(2)证明：E，O，D三点共线解(1)解法一：如题图，设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，m·n1.SMFN|MF|·|FN| ·. 1.当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立MFN的面积的最小值为1.解法二：设M(0，m)，N(0，n)，MFNF，m·n1，SMFN|MN|·|OF|MN|，且|MN|2|mn|2m2n22mnm2n222|mn|24，当且仅当|m|1，|n|1且mn1时等号成立，|MN|min2，(SMFN)min|MN|1.故MFN的面积的最小值为1.(2)A(，0)，M(0，m)，直线AM的方程为yxm，由得(1m2)x22m2x2(m21)0，设E(xE，yE)，D(xD，yD)，由·xE，得xE，同理可得xD，m·n1，xD.由可知xExD，代入椭圆方程可得yy.MFNF，N，M分别在x轴两侧，yEyD，故E，O，D三点共线
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