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专题能力训练3平面向量与复数能力突破训练1.(20xx全国,理3)设有下面四个命题p1:若复数z满足1zR,则zR;p2:若复数z满足z2R,则zR;p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=z2;p4:若复数zR,则zR.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p42.设a,b是两个非零向量,则下列结论一定成立的为()A.若|a+b|=|a|-|b|,则abB.若ab,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数,使得b=aD.若存在实数,使得b=a,则|a+b|=|a|-|b|3.若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i4.在复平面内,若复数z的对应点与5i1+2i的对应点关于虚轴对称,则z=()A.2-iB.-2-iC.2+iD.-2+i5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=()A.-1B.0C.1D.26.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1,其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p47.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60°,则BD·CD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a28.已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>=13.若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.94D.-949.(20xx浙江,10)如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则()A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I310.(20xx全国,理13)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=. 11.(20xx天津,理13)在ABC中,A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且AD·AE=-4,则的值为. 12.设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=. 13.(20xx浙江,12)已知a,bR,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=. 14.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,|AD|=12|AB|,|BE|=23|BC|.若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为. 思维提升训练15.在ABC中,已知D是AB边上一点,CD=13CA+CB,则实数=()A.-23B.-13C.13D.2316.已知ABAC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于()A.13B.15C.19D.2117.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为()A.2B.3C.4D.618.(20xx浙江,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 19.在任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,若EF=AB+DC,则+=. 20.(20xx天津,理9)已知aR,i为虚数单位,若a-i2+i为实数,则a的值为. 参考答案专题能力训练3平面向量与复数能力突破训练1.B解析p1:设z=a+bi(a,bR),则1z=1a+bi=a-bia2+b2R,所以b=0,所以zR.故p1正确;p2:因为i2=-1R,而z=iR,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.2.C解析设向量a与b的夹角为.对于A,可得cos=-1,因此ab不成立;对于B,满足ab时|a+b|=|a|-|b|不成立;对于C,可得cos=-1,因此成立,而D显然不一定成立.3.C解析由题意知z=1-2i,则4izz-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=4i5-1=i,故选C.4.D解析5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5(i+2)5=2+i所对应的点为(2,1),它关于虚轴对称的点为(-2,1),故z=-2+i.5.C解析2a+b=(1,0),又a=(1,-1),(2a+b)·a=1+0=1.6.C解析z=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,故|z|=2,p1错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2正确;z的共轭复数为-1+i,p3错误;p4正确.7.D解析如图,设BA=a,BC=b.则BD·CD=(BA+BC)·BA=(a+b)·a=a2+a·b=a2+a·a·cos60°=a2+12a2=32a2.8.B解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),又n(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos<m,n>+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.9.C解析由题图可得OA<12AC<OC,OB<12BD<OD,AOB=COD>90°,BOC<90°,所以I2=OB·OC>0,I1=OA·OB<0,I3=OC·OD<0,且|I1|<|I3|,所以I3<I1<0<I2,故选C.10.23解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4·|a|·|b|·cos60°+4|b|2=22+4×2×1×12+4×1=12,所以|a+2b|=12=23.11.311解析BD=2DC,AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=23AC+13AB.又AE=AC-AB,A=60°,AB=3,AC=2,AD·AE=-4,AB·AC=3×2×12=3,23AC+13AB·(AC-AB)=-4,即23AC2-13AB2+3-23AB·AC=-4,23×4-13×9+3-23×3=-4,即113-5=-4,解得=311.12.-1解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR,a+1=0,即a=-1.13.52解析由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则a2-b2=3,ab=2,解得a2=4,b2=1,则a2+b2=5,ab=2.14.12解析由题意DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC,故1=-16,2=23,即1+2=12.思维提升训练15.D解析如图,D是AB边上一点,过点D作DEBC,交AC于点E,过点D作DFAC,交BC于点F,则CD=CE+CF.因为CD=13CA+CB,所以CE=13CA,CF=CB.由ADEABC,得DEBC=AEAC=23,所以ED=CF=23CB,故=23.16.A解析以点A为原点,AB,AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图,则A(0,0),B1t,0,C(0,t),AB|AB|=(1,0),AC|AC|=(0,1),AP=AB|AB|+4AC|AC|=(1,0)+4(0,1)=(1,4),点P的坐标为(1,4),PB=1t-1,-4,PC=(-1,t-4),PB·PC=1-1t-4t+16=-1t+4t+17-4+17=13.当且仅当1t=4t,即t=12时取“=”,PB·PC的最大值为13.17.B解析因为M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y).由|MN|·|MP|+MN·NP=0,得6(x+3)2+y2+6(x-3)=0,化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.18.425解析设向量a,b的夹角为,由余弦定理得|a-b|=12+22-2×1×2×cos=5-4cos,|a+b|=12+22-2×1×2×cos(-)=5+4cos,则|a+b|+|a-b|=5+4cos+5-4cos.令y=5+4cos+5-4cos,则y2=10+225-16cos216,20,据此可得(|a+b|+|a-b|)max=20=25,(|a+b|+|a-b|)min=16=4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是25.19.1解析如图,因为E,F分别是AD与BC的中点,所以EA+ED=0,BF+CF=0.又因为AB+BF+FE+EA=0,所以EF=AB+BF+EA.同理EF=ED+DC+CF.由+得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC).所以=12,=12.所以+=1.20.-2解析a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-15-a+25i为实数,-a+25=0,即a=-2.
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