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第二讲向量、复数、算法、合情推理 必记公式1两个非零向量平行、垂直的充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab(b0，R)x1y2x2y10.abab0x1x2y1y20.2复数的四则运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i.(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，cdi0)重要结论1若a与b不共线，且ab0，则0.2已知(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是 1.3平面向量的三个性质(1)若a(x，y)，则|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.(3)设为a与b(a0，b0)的夹角，且a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .4复数运算中常用的结论(1i)22i；i；i；baii(abi)；i4n1，i4n1i；i4n21，i4n3i，其中nN*.5归纳推理的思维过程6类比推理的思维过程失分警示1遇到i2，忘记应化为1，要注意i的周期性2虚数与纯虚数的条件不要弄混，当b0时，复数zabi(a，bR)叫做虚数；当a0且b0时，复数zabi叫做纯虚数3读不懂程序框图的逻辑顺序，不能准确把握判断框中的条件4分不清当型循环与直到型循环，不注意控制循环的变量是什么，不清楚何时退出循环、循环体内的程序是什么 考点平面向量的运算及应用典例示法题型1向量的概念及线性运算典例120xx北京高考在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_，y_.解析由2知M为AC上靠近C的三等分点，由知N为BC的中点，作出草图如下：则有()，所以()，又因为xy，所以x，y.答案题型2向量的数量积典例220xx广东高考在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)mn，mn0.故sinxcosx0，tanx1.(2)m与n的夹角为，cosm，n，故sin.又x，x，x，即x，故x的值为.题型3平面向量的综合应用典例320xx江苏高考如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_解析解法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，(ba，c)，(ba，c)，由b2a2c24，a21，解得b2c2，a2，则(b2c2)a2.解法二：设a，b，则(a3b)(a3b)9|b|2|a|24，(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2，则(a2b)(a2b)4|b|2|a|2.答案1解决平面向量及线性运算问题应注意的几点(1)abab(b0)是判定两个向量共线的重要依据(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(3)若a与b不共线且ab，则0.(4)(，为实数)，若A、B、C三点共线，则1.(5)平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件2数量积、模和夹角的问题(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：直接利用数量积的定义；建立坐标系，通过坐标运算求解.(2)在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.,求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方.(3)两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.3解向量与其他知识的综合问题应注意向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋势，对于向量而言，要掌握相关的夹角、模、垂直、平行等重要公式而在三角形中有关最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函数的范围，或归结为二次函数的最值、或利用基本不等式等进行，无论采用哪种形式，都要强调变量的范围处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转化，并且注意一些隐含条件，如内角和为180、大角对大边等内在属性考点复数的概念及运算典例示法典例4(1)20xx全国卷设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|()A1 B.C. D2解析因为(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，选B.答案B(2)20xx郑州质检二设i是虚数单位，复数z，则|z|()A1 B.C. D2解析|z|.答案B本例条件不变求？答案1i解析由z1i，所以1i.复数的基本概念与运算问题的解题思路(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形分离出实部和虚部，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式zabi(a，b，R)，代入条件，用待定系数法解决针对训练120xx安徽高考设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析1i，其在复平面内所对应的点位于第二象限220xx天津高考已知a，bR，i是虚数单位若(1i)(1bi)a，则的值为_答案2解析(1i)(1bi)1b(1b)ia，所以b1，a2，2.考点程序框图典例示法题型1求输入或输出的值典例520xx全国卷执行如图所示的程序框图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足()Ay2x By3xCy4x Dy5x解析输入x0，y1，n1，得x0，y1，x2y2136，不满足条件，执行循环：n2，x，y2，x2y2436，满足条件，结束循环，所以输出的x，y6，满足y4x，故选C.答案C题型2完善程序框图典例620xx重庆高考执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()AsBsCsDs解析第一次循环，得k2，s；第二次循环，得k4，s；第三次循环，得k6，s；第四次循环，得k8，s，此时退出循环，输出k8，所以判断框内可填入的条件是s，故选C.答案C解答程序框图(流程图)问题的关注点(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在如累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律提醒：解答循环结构的程序框图(流程图)问题要注意输出循环次数的情况，防止多一次或少一次的错误考点合情推理典例示法题型1利用归纳推理求解相关问题典例720xx河南郑州联考观察下列等式：按此规律，第12个等号的等号右边等于_解析从题中可找出规律，第n行等号左边的式子是首项为2n1的连续n个奇数之和，所以第12个等式的等号右边左边232545408.答案408题型2利用类比推理求解相关问题典例820xx衡水中学调研椭圆中有如下结论：椭圆1(ab0)上斜率为1的弦的中点在直线0上，类比上述结论：双曲线1(a0，b0)上斜率为1的弦的中点在直线_上解析将椭圆方程1中的x2变为x，y2变为y，右边变为0，得到椭圆1上斜率为1的弦的中点在直线0上类比上述结论，将双曲线的方程作上述变换可知，双曲线1上斜率为1的弦的中点在直线0上不妨设弦的两个端点为(x1，y1)，(x2，y2)，则1，弦中点设为(x0，y0)，则x0，y0.将上述两端点代入双曲线方程，得两式相减，得0，即0，所以0，化简，得0，0，所以0，于是(x0，y0)在直线0上答案0合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性 全国卷高考真题调研120xx全国卷设复数z满足i，则|z|()A1 B.C. D2答案A解析由题意知1zizi，所以zi，所以|z|1.220xx全国卷设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.答案A解析由题意得，故选A.320xx全国卷执行如图所示的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n()A5 B6C7 D8答案C解析由程序框图可知，S1，m，n1，0.01；S，m，n2，0.01；S，m，n3，0.01；S，m，n4，0.01；S，m，n5，0.01；S，m，n6，0.01；S，m，n7，7 Bi7Ci9 Di9答案B解析本题主要考查程序框图的应用由程序框图可知：第一步，S0313，i3；第二步，S33330，i5；第三步，S3035273，i7.故判断框内可填i7，选B.620xx贵阳质检阅读如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的表达式为()Ai3 Bi4Ci5 Di6答案B解析本题主要考查程序框图第一次循环，得S3，i2；第二次循环，得S7，i3；第三次循环，得S15，i4；第四次循环，得S31，此时满足题意，输出的S31，所以处可填i4，故选B.720xx重庆检测执行如图所示的程序框图，则输出s的值为()A7 B5C2 D9答案A解析本题主要考查程序框图依题意，执行题中的程序框图，k40，s1(4)4，k422；k20，s4(2)8，k220；k00，s808，k011；k12，s817，k1122，此时结束循环，输出s的值为7，选A.8在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于()A. B.C. D.答案C解析从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心则AEa，DEa，设OAR，OEr，则OA2AE2OE2，即R222，Ra，ra，正四面体的外接球和内切球的半径之比为31，故正四面体PABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于.9已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且cacb1，则对任意的正实数t，的最小值是()A2 B2C4 D4答案B解析设a(1,0)，b(0,1)，则c(1,1)，代入得ctab，所以2.1020xx广州模拟已知ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(，0)，(0，2)，O为坐标原点，动点P满足|1，则|的最小值是()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析本题主要考查向量的坐标运算，向量模的几何意义及坐标运算公式，圆的参数方程，三角函数的恒等变换设P(cos，2sin)，则| 1.二、填空题11如果z为纯虚数，则实数a等于_答案1解析设zti，则1aitti，a1.12执行如图所示的程序框图，输出的S的值是_答案1解析由程序框图可知，n1，S0；Scos，n2；Scoscos，n3；n20xx，Scoscoscoscos251coscoscoscoscoscos25100(1)01，n2105，输出S.1320xx合肥质检已知等边ABC的边长为2，若3，则_.答案2解析本题主要考查平面向量数量积的计算如图所示，()()22442.14. 如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有_答案S2SSS解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.
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