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第三步应试技能专训一、客观题专练 (一)一、选择题1设UR，集合A，BxR|0<x<2，则(UA)B()A(1,2 B1,2)C(1,2) D1,2答案B解析依题意得UAx|1x2，(UA)Bx|1x<21,2)，选B.2设z1i(i是虚数单位)，则()Ai B2iC1i D0答案D解析因为1i1i1i1i0，故选D.320xx·沈阳监测下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是()Ay2x By2|x|Cy2x2x Dy2x2x答案C解析A虽为增函数却是非奇非偶函数，B、D是偶函数，对于选项C，由奇偶函数的定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或y2xln 22xln 2>0)，故选C.4已知数列an是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10等于()A14 B.C. D32答案C解析由题意可得aa1·a5，即(a13)2a1(a14×3)，解之得a1，故a10(101)×3，故选C.5已知变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A1 B2C3 D4答案B解析画出可行域得知，当直线yz2x过点(1,0)时，z取得最大值2.6. 已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)e1x2Bf(x)ex21Cf(x)ex21Df(x)ln (x21)答案A解析A中，令f(x)eu，u1x2，易知当x<0时，u为增函数，当x>0时，u为减函数，所以当x<0时，f(x)为增函数，当x>0时，f(x)为减函数，故A可能是；B、C中同理可知，当x<0时，f(x)为减函数，当x>0时，f(x)为增函数，故B、C不是；D中，当x0时，无意义，故D不是，选A.7已知函数f(x)Asin(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()Af(x)sinBf(x)sinCf(x)sinDf(x)sin答案B解析由图可以判断|A|<1，T>2，则|<1，f(0)>0，f()>0，f(2)<0，只有选项B满足上述条件8已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为()A2 B2或1C1或3 D2或答案D解析当x0时，由yx40得x2；当x>0时，由ylog3x10得x.第三编/第三步应试技能专训金版教程|大二轮·文数9. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的()A.B.C.D.答案C解析由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(24)6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的，故选C.1020xx·贵阳监测已知双曲线1(a>0，b>0)与函数y的图象交于点P，若函数y的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(2,0)，则双曲线的离心率是()A. B.C. D.答案B解析设P(x0，)，因为函数y的导数为y，所以切线的斜率为.又切线过双曲线的左焦点F(2,0)，所以，解得x02，所以P(2，)因为点P在双曲线上，所以1.又c222a2b2，联立解得a或a2(舍)，所以e，故选B.1120xx·山西四校联考在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为()A6 B12C32 D36答案B解析如图，取CB的中点N，连接MN，AN，则MNSB.由于AMSB，所以AMMN.由正三棱锥的性质易知SBAC，结合AMSB知SB平面SAC，所以SBSA，SBSC.又正三棱锥的三个侧面是全等的三角形，所以SASC，所以正三棱锥SABC为正方体的一个角，所以正三棱锥SABC的外接球即为正方体的外接球由AB2，得SASBSC2，所以正方体的体对角线为2，所以所求外接球的半径R，其表面积为4R212，故选B.1220xx·商丘二模设函数f(x)的导函数为f(x)，对任意xR都有f(x)>f(x)成立，则()A3f(ln 2)<2f(ln 3)B3f(ln 2)2f(ln 3)C3f(ln 2)>2f(ln 3)D3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定答案C解析构造新函数g(x)，则求导函数得：g(x)，因为对任意xR，都有f(x)>f(x)，所以g(x)<0，即g(x)在实数域上单调递减，所以g(ln 2)>g(ln 3)，即>，解得3f(ln 2)>2f(ln 3)，故本题正确答案为C.二、填空题13若向量a，b满足：|a|1，|b|2，(ab)a，则a，b的夹角是_答案解析依题意得(ab)·a0，即a2a·b0,12cosa，b0，cosa，b；又a，b0，因此a，b，即向量a，b的夹角为.14若不等式x2y22所表示的平面区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为_答案解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N的面积为×3×(62)12，区域M在区域N内的面积为()2，故所求概率P.15在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosCccosBR(R为ABC外接圆半径)且a2，bc4，则ABC的面积为_答案解析因为bcosCccosBR，得2sinBcosC2sinCcosB，sin(BC)，即sinA.由余弦定理得：a2b2c22bccosA，即4b2c2bc，4(bc)23bc，bc4，bc4，SABCbcsinA.16存在实数，使得圆面x2y24恰好覆盖函数ysin图象的最高或最低点共三个，则正数k的取值范围是_答案解析当函数ysin的图象取到最高或最低点时，xn(nZ)xkn(nZ)，由圆面x2y24覆盖最高或最低点，可知x，再令kn，得n，分析题意可知存在实数，使得不等式n的整数解有且只有3个，2<4<k，即实数k的取值范围是.(二)一、选择题1在复平面内，复数2i2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析2i21i，故选B.2已知集合Ax|2x3，Bx|x22x8>0，则AB()A(，4)2，)B(2,3C(，3(4，)D2,2)答案A解析因为Bx|x>2或x<4，所以ABx|x<4或x2，故选A.3设x，yR，则“x1且y1”是“x2y22”的()A既不充分又不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D充分不必要条件答案D解析当x1，y1时，x21，y21，所以x2y22；而当x2，y4时，x2y22仍成立，所以“x1且y1”是“x2y22”的充分不必要条件，故选D.4据我国西部各省(区，市)人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间28,38)上的频率是()A0.3 B0.4C0.5 D0.7答案A解析依题意，由题图可估计人均地区生产总值在区间28,38)上的频率是1(0.080.06)×50.3，选A.5. 如图，在三棱锥PABC中，不能证明APBC的条件是()AAPPB，APPCBAPPB，BCPBC平面BPC平面APC，BCPCDAP平面PBC答案B解析A中，因为APPB，APPC，PBPCP，所以AP平面PBC，又BC平面PBC，所以APBC，故A正确；C中，因为平面BPC平面APC，BCPC，所以BC平面APC，AP平面APC，所以APBC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出APBC，故选B.6执行如下程序框图，则输出结果为()A2 B3C4 D5答案C解析依次执行框图中的语句：n1，S0，T20；T10，S1，n2；T5，S3，n3；T，S6，n4，跳出循环，输出的n4，故选C.7已知，tan，那么sin2cos2的值为()A B.C D.答案A解析由tan，知，tan2.2，sin2，cos2.sin2cos2，故选A.8甲、乙两个几何体的正视图和侧视图相同，俯视图不同，如图所示，记甲的体积为V甲，乙的体积为V乙，则()AV甲<V乙 BV甲V乙CV甲>V乙 DV甲、V乙大小不能确定答案C解析由三视图知，甲几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，乙几何体是在甲几何体的基础上去掉一个角，即去掉一个三个面是直角三角形的三棱锥后得到的一个三棱锥，所以V甲>V乙，故选C.920xx·江西南昌调研设两条直线的方程分别为xya0，xyb0，已知a，b是方程x2xc0的两个实根，且0c，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是()A.， B.，C.， D.，答案A解析因为a，b是方程x2xc0的两个实根，所以abc，ab1.又直线xya0，xyb0的距离d，所以d222c，因为0c，所以2×2c2×0，得2c，所以d，故选A.1020xx·郑州质检已知函数f(x)x，g(x)2xa，若x1，x22,3，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca2 Da2答案A解析由题意知f(x)ming(x)min(x2,3)，因为f(x)min5，g(x)min4a，所以54a，即a1，故选A.11已知椭圆1(a>b>0)的左焦点F(c,0)关于直线bxcy0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.答案D解析设焦点F(c,0)关于直线bxcy0的对称点为P(m，n)，则所以所以m(12e2)c，n2be2.因为点P(m，n)在椭圆上，所以1，即(12e2)2e24e41，即4e6e210，将各选项代入知e符合，故选D.1220xx·武昌调研已知函数f(x)sinxxcosx.现有下列结论：x0，f(x)0；若0<x1<x2<，则<；若a<<b，对x恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.其中正确结论的个数为()A0 B1C2 D3答案D解析因为f(x)cosxcosxxsinxxsinx，当x0，时，f(x)0，故f(x)在0，上是增函数，所以f(x)f(0)0，所以正确；令g(x)，则g(x)，由知，当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在0，上是减函数，所以>，即<，所以正确；当x>0时，“>a”等价于“sinxax>0”，令g(x)sinxcx，则g(x)cosxc，当c0时，g(x)>0对x恒成立；当c1时，因为对x.g(x)cosxc<0，所以g(x)在区间上单调递减，从而，g(x)<g(0)0对x恒成立；当0<c<1时，存在唯一的x0使得g(x0)cosx0c0成立，若x(0，x0)时，g(x0)>0，g(x)在(0，x0)上单调递增，且g(x)>g(0)0；若x时，g(x0)<0，g(x)在上单调递减，要使g(x)sinxcx>0在上恒成立，必须使gsinc1c0恒成立，即0<c.综上所述，当c时，g(x)>0对x恒成立；当c1时，g(x)<0，对x恒成立，所以若a<<b对x上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1，所以正确，故选D.二、填空题13从编号为001,002，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本编号从小到大依次为007,032，则样本中最大的编号应该为_答案482解析由题意可知，系统抽样的每组元素个数为32725个，共20个组，故样本中最大的编号应该为500257482.1420xx·辽宁五校联考抛物线x2y在第一象限内图象上一点(ai,2a)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai1，其中iN*，若a232，则a2a4a6等于_答案42解析令yf(x)2x2，则切线斜率kf(ai)4ai，切线方程为y2a4ai(xai)，令y0得xai1ai，由a232得a48，a62，所以a2a4a642.15已知a，b是正数，且满足2<a2b<4，那么a2b2的取值范围是_答案解析作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O到直线a2b2的距离d，|OB|4，显然d2<a2b2<|OB|2，即<a2b2<16.1620xx·湖南长郡模拟 如图，在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc，a，S为ABC的面积，圆O是ABC的外接圆，P是圆O上一动点，当ScosBcosC取得最大值时，·的最大值为_答案解析本题考查余弦定理、正弦定理、平面向量的运算在ABC中，由a2b2c2bc得b2c2a2bc，则cosA，所以sinA，则由正弦定理得ABC的外接圆的半径为r××1，则b2rsinB2sinB，c2rsinC2sinC，所以ScosBcosCbcsinAcosBcosC×2sinB×2sinCcosBcosCcos(BC)，则当BC时，ScosBcosC取得最大值以O为原点，OA所在的直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,1)，B，设P(cos，sin)，则·(cos，1sin)·coscos2sinsin2sin，所以当sin1时，·取得最大值.(三)一、选择题1设全集UR，Ax|x(x2)<0，Bx|1x>0，则A(UB)等于()Ax|x1 Bx|1x<2Cx|0<x1 Dx|x1答案B解析由题意可得A(0,2)，B(，1)，则A(UB)1,2)2已知实数a，b满足(ai)(1i)3bi，则复数abi的模为()A. B2C. D5答案C解析依题意，(ai)(ai)i3bi，因此解得a2，b1，所以abi2i，|abi|2i|，选C.3下列函数为奇函数的是()Ayx33x2 ByCyxsinx Dylog2答案D解析依题意，对于选项A，注意到当x1时，y2；当x1时，y4，因此函数yx33x2不是奇函数对于选项B，注意到当x0时，y10，因此函数y不是奇函数对于选项C，注意到当x时，y；当x时，y，因此函数yxsinx不是奇函数对于选项D，由>0得3<x<3，即函数ylog2的定义域是(3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log2log2log210，即有log2log2，因此函数ylog2是奇函数综上所述，选D.4设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于()A. B2C3 D4答案D解析因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以2，2，所以4，故选D.5若双曲线C1：1与C2：1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b()A2 B4C6 D8答案B解析由题意得，2b2a，C2的焦距2c4c2b4，故选B.6运行下面的程序，如果输出的S，那么判断框内是()Ak20xx? Bk20xx?Ck20xx? Dk20xx?答案B解析当判断框内是kn？时，S1，若S，则n20xx.720xx·郑州质检将函数f(x)sin的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递减，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，图象关于点对称答案B解析由题意得，g(x)sinsin(2x)sin2x，对于A，最大值为1正确，而g0，图象不关于直线x对称，故A错误；对于B，当x时，2x，满足单调递减，显然g(x)也是奇函数，故B正确；C显然错误；对于D，周期T，g，故图象不关于点对称，故选B.820xx·重庆测试某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B2C. D3答案C解析依题意，如图所示，题中的几何体是从正三棱柱ABCA1B1C1中截去一个三棱锥BA1B1E(其中点E是B1C1的中点)后剩余的部分，其中正三棱柱ABCA1B1C1的底面是一个边长为2的正三角形、高为3，因此该几何体的体积为×3××3，选C.920xx·福建质检若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案D解析设椭圆的方程为1(a>b>0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图象，如图所示，因为|OB|a，所以|OA|a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以椭圆的离心率e，故选D.1020xx·河南八市质检已知a>0，x，y满足约束条件若z3x2y的最小值为1，则a()A. B.C. D1答案B解析根据约束条件画出可行域，将z3x2y的最小值转化为在y轴上的截距，当直线z3x2y经过点B时，z最小，又B点坐标为(1，2a)，代入3x2y1，得34a1，得a，故选B.11已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ba，C，SABCsin2A，则SABC()A. B.C. D2答案A解析解法一：由ba，C，得SABCabsinCa·a·a2，又SABCsin2A，则sin2A，故sinA，即2，由，得2，所以c2sinC1，由余弦定理a2b2c22abcosC，得a23a212·a·a·，整理得4a213a2，a21，所以a1，故SABC.解法二：由余弦定理a2b2c22abcosC，得a2(a)2c22a·a·cos，即a2c2，故ac，从而有AC，所以SABCsin2A×sin2，故选A.12若P为曲线yln x上一动点，Q为直线yx1上一动点，则|PQ|min等于()A0 B.C. D2答案C解析如图所示，直线l与yln x相切且与yx1平行时，切点P到直线yx1的距离|PQ|即为所求最小值(ln x)，令1，得x1.故P(1,0)故|PQ|min.二、填空题1320xx·广东高考已知样本数据x1，x2，xn的均值5，则样本数据2x11,2x21，2xn1的均值为_答案11解析由条件知5，则所求均值0212×5111.14已知an为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是an的前n项和，则S12的值为_答案54解析由题意得，aa3a11，即(a14)2(a12)(a110)，a11，S1212×(1)×154.15设函数f(x)在1，)上为增函数，f(3)0，且g(x)f(x1)为偶函数，则不等式g(22x)<0的解集为_答案(0,2)解析依题意得f(x1)f(x1)，因此f(x)的图象关于直线x1对称又f(x)在1，)上为增函数，因此f(x)在(，1上为减函数又g(x)f(x1)为偶函数，因此g(x)在0，)上为增函数，在(，0上为减函数，且g(2)f(21)f(3)0，g(2)0，不等式g(22x)<0，即g(|22x|)<g(2)，所以|22x|<2，2<22x<2，0<x<2，所以不等式g(22x)<0的解集是(0,2)1620xx·陕西质检已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线为l，若l与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.答案8解析本题考查导数的几何意义、数形结合思想的应用函数f(x)xln x的导函数为f(x)1，则f(1)12，所以切线l的方程为y12(x1)，即y2x1，因为直线l与曲线yax2(a2)x1相切，所以方程ax2(a2)x12x1，即ax2ax20有两个相等的实数根，显然a0，则a24×2a0，解得a8.(四)一、选择题1已知(13i)(2i)43i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为()A1 B1Ci Di答案A解析因为13i13i12i13i2i，所以z2i，z的虚部为1，故选A.2若集合Ax|(x1)(3x)>0，集合Bx|1x>0，则AB等于()A(1,3) B(，1)C(1,3) D(1,1)答案D解析A(1,3)，B(，1)，AB(1,1)3. 一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则xy的值为()A2 B2C3 D3答案D解析由题意得，81x0，易知y3，xy3，故选D.4已知l，m，n为不同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是()A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若l，m，m，则mlD若m，n，lm，ln，则l答案C解析A项，m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；B项，根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；C项，根据线面平行的性质可知C正确；D项，若mn，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.5ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cosA，ca2，b3，则a()A2 B.C3 D.答案A解析由余弦定理可知，a2b2c22bccosAa29(a2)22×3×(a2)×a2，故选A.620xx·东北三省联考如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥PA1B1A的侧视图为()答案D解析如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥PA1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.720xx·合肥质检执行下面的程序框图，则输出的n的值为()A10 B11C1024 D2048答案C解析该程序框图共运行10次，S12222102047，输出的n2101024，选项C正确820xx·河南六市一联实数x，y满足使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为()A0 B2C1 D1答案A解析画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，zaxy取得最大值的最优解有2个，a1，a1，当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，axy1的最小值是0，故选A.9已知a，b都是实数，命题p：ab2；命题q：直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切，则p是q的()A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由直线xy0与圆(xa)2(yb)22相切，得，即ab±2，p是q的充分但不必要条件1020xx·山西质检若函数f(x)sin(2x)的图象关于直线x对称，且当x1，x2，x1x2时，f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A. B.C. D1答案C解析由题意得，2×k，kZ，k，kZ，|<，k0，又x1，x2，2x1，2x2(0，)，解得x1x2，f(x1x2)sin，故选C.1120xx·云南统检已知双曲线M的焦点F1、F2在x轴上，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且·0，如果抛物线y216x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|·|()A21 B14C7 D0答案B解析设双曲线方程为1(a>0，b>0)，直线x3y0是双曲线M的一条渐近线，又抛物线的准线为x4，c4，又a2b2c2，由得a3.设点P为双曲线右支上一点，由双曲线定义得|6，又·0，在RtPF1F2中|2|282，联立，解得|·|14.12已知函数f(x)2xx，g(x)log2xx，h(x)log2x2的零点依次为a，b，c，则()Aa<b<c Bc<b<aCc<a<b Db<a<c答案A解析在同一平面直角坐标系中分别画出函数y2x，yx，ylog2x的图象，结合函数y2x与yx的图象可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数ylog2x与yx的图象可知其交点横坐标大于0且小于1，即0<b<1；令log2x20，得x4，即c4.因此有a<b<c，选A.二、填空题13已知向量a，b的夹角为，|a|，|b|2，则a·(a2b)_.答案6解析a·(a2b)a22a·b22××2×6.1420xx·山西四校二联抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2y21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.答案2解析由题意可知，抛物线的焦点为F，准线方程为y，联立解得x± .ABF为等边三角形，2|x|，即p24，解得p2或2(舍去)1520xx·海口调研半径为2的球O中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_答案16()解析依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有162a2h22ah，即4ah16，该正四棱柱的侧面积S4ah16，当且仅当ha2时取等号因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4×221616()16已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且Sn2Sn11(n2，且nN*)，数列bn是等差数列，且b1a1，b4a1a2a3.设cn，数列cn的前n项和为Tn，则T10_.答案解析解法一：数列an的首项a11，前n项和为Sn，且Sn2Sn11(n2，且nN*)，当n2时，a1a22a11，a22，当n3时，anSnSn12Sn12Sn22an1，又a22a1，an2an1(n2，且nN*)，数列an为首项为1，公比为2的等比数列，an2n1，a3224.设数列bn的公差为d，又b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)×22n1，cn，T10.解法二：数列an的首项a11，前n项和为Sn，且Sn2Sn11(n2，且nN*)，当n2时，a1a22a11，a22，当n3时，a1a2a32a12a21，a34.设数列bn的公差为d，又b1a11，b413d7，d2，bn1(n1)×22n1，cn，T10.
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