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第二讲数形结合思想思想方法解读考点利用数形结合思想研究方程的根与函数的零点典例1已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时，f(x)则关于x的函数F(x)f(x)a(0<a<1)的所有零点之和为()A2a1 B2a1C12a D12a解析因为f(x)为R上的奇函数，所以当x<0时，f(x)f(x)画出函数yf(x)的图象和直线ya(0<a<1)，如图由图可知，函数yf(x)的图象与直线ya(0<a<1)共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则3，3，而由log (x31)a，即log2(1x3)a，可得x312a，所以x1x2x3x4x512a，故选D.答案D利用数形结合研究方程的根(求函数零点)解决策略(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型：研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小【针对训练1】20xx·山东重点高中模拟若实数a满足alg a4，实数b满足b10b4，函数f(x)则关于x的方程f(x)x的根的个数是()A1 B2C3 D4答案C解析在同一坐标系中作出y10x，ylg x以及y4x的图象，其中y10x，ylg x的图象关于直线yx对称，直线yx与y4x的交点为(2,2)，所以ab4，f(x)当x0时，由x24x2x可得，x1或2；当x>0时，易知x2，所以方程f(x)x的根的个数是3.考点利用数形结合思想解不等式或求参数范围典例2(1)20xx·福建高考已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则·的最大值等于()A13 B15C19 D21解析依题意，以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，所以点B，C(0，t)，(1,0)4(0,1)(1,4)即P(1,4)且t>0.所以··(1，t4)×(1)4×(t4)174t17213(当且仅当4t，即t时取等号)，所以·的最大值为13，故选A.答案A(2)20xx·全国卷已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)>0，则x的取值范围是_解析作出函数f(x)的大致图象如图所示，因为f(x1)>0，所以2<x1<2，解得1<x<3.则x的取值范围为(1,3)答案(1,3)数形结合思想解决不等式(或求参数范围)的解题思路求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化成数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答【针对训练2】(1)使log2(x)<x1成立的x的取值范围是_答案(1,0)解析在同一坐标系中，分别作出ylog2(x)，yx1的图象，由图可知，x的取值范围是(1,0)(2)若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_答案解析作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.考点利用数形结合求最值典例3(1)已知圆C：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心C，且圆C与x轴相切，则a2b2的最大值为()A5 B29C37 D49解析由已知得平面区域为MNP内部及边界圆C与x轴相切，b1.显然当圆心C位于直线y1与xy70的交点A(6，1)处时，amax6.a2b2的最大值为621237.故选C.答案C(2)已知P是直线l：3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为_解析从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x4y80向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRtPAC|PA|·|AC|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|3，从而|PA|2.所以(S四边形PACB)min2××|PA|×|AC|2.答案2利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解【针对训练3】20xx·潍坊模拟已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28，设H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的较大值，minp，q表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a16答案B解析H1(x)maxf(x)，g(x)H2(x)minf(x)，g(x)由f(x)g(x)x22(a2)xa2x22(a2)xa28，解得x1a2，x2a2.而函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28的图象的对称轴恰好分别为xa2，xa2，可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示，因此H1(x)，H2(x)的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分)可见，AH1(x)minf(a2)4a4，BH2(x)maxg(a2)124a，从而AB16.考点数形结合思想在解析几何中的应用典例4已知F1、F2分别是双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，)C(，2) D(2，)解析如图所示，过点F2(c,0)且与渐近线yx平行的直线为y(xc)，与另一条渐近线yx联立得解得即点M.|OM| 点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|>c，即 >c，得 >2.双曲线离心率e >2.故双曲线离心率的取值范围是(2，)故选D.答案D数形结合在解析几何中的解题策略(1)数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效(2)此类题目的求解要结合该曲线的定义及几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程(组)或不等式(组)，从而将问题解决【针对训练4】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是()A(0，) B.C. D.答案B解析如图，由题意知r110，r22c，且r1>r2.e2；e1.三角形两边之和大于第三边，2c2c>10，c>，e1e2>，因此选B.
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