数学中考：第十二单元 第36课时 轴对称与中心对称

2019 届数学中考复习资料 第十二单元 图形变换 第 36 课时 轴对称与中心对称 (60 分) 一、选择题(每题 5 分，共 25 分) 12017 深圳观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是( D ) 2 2016 南充如图 361，直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， P 是直线 MN 上的点， 下列判断错误的是( B ) AAMBM BAPBN CMAPMBP DANMBNM 【解析】 直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，点 A 与点 B 对应，AMBM，ANBN，ANMBNM，P 是直线 MN 上的点，MAPMBP，A，C，D 正确，B 错误故选 B. 32017 黑龙江如图 362，在矩形 ABCD 中，AD4，DAC30，点 P，E 分别在 AC，AD 上，则 PEPD 的最小值是 ( B ) A2 B2 3 C4 D.8 33 图 362 第 3 题答图 图 361 【解析】 如答图，作 D 关于直线 AC 的对称点 D，过 D作 DEAD 于 E，则 DE为 PEPD 的最小值，四边形 ABCD 是矩形，ADC90， AD4，DAC30，CD4 33，DDAC，ADD60，DD4，DE2 3. 42017 无锡如图 363，ABC 中，BAC90，AB3，AC4，点 D 是BC 的中点，将ABD 沿 AD 翻折得到AED，连结 CE，则线段 CE 的长等于 ( D ) A2 B.54 C.53 D.75 图 363 第 4 题答图 【解析】 如答图，连结 BE 交 AD 于 O，作 AHBC 于 H.在 RtABC 中， AC4，AB3，BC 3242 5， CDDB，ADDCDB52， 12BCAH12ABAC，AH125， AEAB，DEDBDC，AD 垂直平分线段 BE，BCE 是直角三角形， 12ADBO12BDAH，OB125，BE2OB245， 在 RtBCE 中，EC BC2BE252245275. 5如图 364，在四边形 ABCD 中，C50，BD90，E，F 分别是 BC，DC 上的点，当AEF 的周长最小时，EAF 的度数为 ( D ) A50 B60 C70 D80 图 364 第 5 题答图 【解析】 如答图，要使AEF 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出点 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A，连结 AA交BC 于点 E，DC 于点 F，则此时AEF 的周长最小即可得出AAHAA50，进而得出AEFAFE2(AA)250100，EAF18010080. 二、填空题(每题 5 分，共 25 分) 6如图 365，四边形 ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过 O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分当菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8 时，则阴影部分的面积为_12_. 【解析】 菱形的两条对角线的长分别为 6 和 8，菱形的面积126824，O 是菱形两条对角线的交点，阴影部分的面积122412. 72017 广东如图 366，矩形纸片 ABCD 中，AB5，BC3，先按图操作： 将矩形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折叠， 使点 D 落在边 AB 上的点 E 处，折痕为 AF，再按图操作：沿过点 F 的直线折叠，使点 C 落在 EF 上的点 H处，折痕为 FG，则 A，H 两点间的距离为_ 10_. 图 366 图 365 【解析】 如答图，连结 AH.由题意可知在 Rt AEH 中， AEAD3，EHEFHF321， AH AE2EH2 3212 10. 8如图 367，在ABCD 中，AB 13，AD4，将ABCD 沿AE 翻折后，点 B 恰好与点 C 重合，则折痕 AE 的长为_3_. 【解析】 翻折后点 B 恰好与点 C 重合， AEBC，BECE，BCAD4，BE2， AE AB2BE2（ 13）2223. 图 367 图 368 92017 扬州如图 368，把等边三角形 ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在BC 边上的点 P 处，且 DPBC，若 BP4 cm，则 EC_22 3_cm. 【解析】 ABC 是等边三角形，ABC60，ABBC， DPBC，BPD90，PB4 cm，BD8 cm，PD4 3 cm，把等边三角形 ABC 沿着 DE 折叠，使点 A 恰好落在 BC 边上的点 P 处， ADPD4 3 cm，DPEA60，AB(84 3)cm，BC(84 3)cm，PCBCBP(44 3)cm，EPC180906030，PEC90，CE12PC(22 3)cm. 102016 潍坊已知AOB60，P 是AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M在边OA上， 且OM4， 则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是_2 3_ 第 7 题答图 【解析】 如答图，过点 P 作 PNOA，则 PN 即为点 P到边 OA 的距离；过点 M 作 MNOB 于点 N，MN与OC 的交点即为所求 P.则 MN的长度等于 PMPN 的最小值，即 MN的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值，ONM90 ，OM4，MNOM sin60 2 3，点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 2 3. 三、解答题(共 10 分) 11(10 分)2017 宁夏如图 369，在ABC 中，M 是 AC 边上的一点， 连结 BM.将ABC 沿 AC 翻折， 使点 B 落在点 D 处，当 DMAB 时，求证：四边形 ABMD 是菱形 证明：ABDM，BAMAMD， ADC 是由ABC 翻折得到， CABCAD，ABAD，BMDM， DAMAMD，DADMABBM， 四边形 ABMD 是菱形 (28 分) 12(8 分)2016 金华如图 3610，在 RtABC 纸片中，C90， AC6， BC8， 点 D 在边 BC 上， 以 AD 为折痕，ABD 折叠得到ABD， AB与边 BC 交于点 E.若DEB为直角三角形，则 BD 的长是_2 或 5_ 第 12 题答图 第 10 题答图 图 369 图 3610 【解析】 在 RtABC 纸片中，C90，AC6，BC8，AB10，以 AD 为折痕，ABD 折叠得到ABD，BDDB，ABAB10.如答图，当BDE90时，过点 B作 BFAC 的延长线于点 F.设 BDDBx，则 AF6x，FB8x.在 RtAFB中，由勾股定理，得 AB2AF2FB2，即(6x)2(8x)2102，解得 x12，x20(舍去)，BD2；如答图，当BED90时，点 C 与点 E 重合AB10，AC6，BE4.设 BDDBx，则 CD8x.在 RtBDE 中，DB2DE2BE2，即x2(8x)242，解得 x5，BD5.综上所述，BD 的长是 2 或 5. 13(10 分)2017 金华如图 3611，在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为 A(2，2)，B(4，1)，C(4，4) (1)作出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1； (2)作出点 A 关于 x 轴的对称点 A.若把点 A向右平移 a 个单位长度后落在A1B1C1的内部(不包括顶点和边界)，求 a 的取值范围 图 3611 第 13 题答图 【解析】 (1)根据关于原点中心对称对应点的坐标特征，对应点的横纵坐标互为相反数，得到 A，B，C 关于原点的对应点 A1，B1，C1，连结对应线段得到所作图形；(2)根据点关于 x 轴对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可确定点 A，点 A向右平移 4 个单位长度与点 A1重合，向右平移 6 个单位长度，在边 B1C1上，再根据要求“不包括顶点和边界”，可确定 a 的取值范围 解：(1)如答图，A1B1C1即为所求作的图形； (2)点 A如答图所示a 的取值范围是 4a6. 14(10 分)如图 3612，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠使点 A 落在点 A处，然后将矩形展平，如图沿 EF 折叠使点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处，再将矩形ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处 (1)求证：EGCH； (2)已知 AF 2，求 AD 和 AB 的长 图 3612 解：(1)证明：由折叠知AEFGEF，BCEHCE， AEAEBC，AEFBCE，AEFBCE， GEFHCE，EGCH； (2)AFFG 2，FDG45，FD2，AD2 2； AFFGHEEB 2，AEAD2 2， ABAEEB2 2 222 2. (12 分) 15(12 分)2017 济宁实验探究： (1)如图 3613，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN，MN.请你观察图，猜想MBN 的度数是多少，并证明你的结论 (2)将图中的三角形纸片 BMN 剪下，如图，折叠该纸片，探究 MN 与 BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论 图 3613 第 15 题答图 解：(1)猜想：MBN30. 证明：如答图，连结 AN， 直线 EF 是 AB 的垂直平分线， NANB，由折叠可知 BNAB， ABBNAN，ABN 是等边三角形， ABN60， MBNABM12ABN30. (2)结论：MN 12BM. 折纸方案：如答图，折叠BMN，使得点 N 落在 BM 上 O 处，折痕为 MP，连结 OP. 证明：由折叠可知MOPMNP， MNOM，OMPNMP12OMN30B，MOPMNP90， BOPMOP90， OPOP，MOPBOP， MOBO12BM，MN12BM.