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第5练 导数与几何意义一.强化题型考点对对练1. （导数的几何意义）【山东省菏泽期中】已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线少垂直的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B2（导数的几何意义与不等式的结合）已知，曲线在点处的切线的斜率为，则当取最小值时的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得, ，则当时， 取最小值为4，故选A.3. （导数的几何意义）已知函数的图象在点处的切线过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以切线斜率为，切线方程为，整理得：，代入，解得，故选B.4. （导数的几何意义与不等式的结合）函数的图像在点处的切线斜率的最小值是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为，所以函数的图象在点处的切线斜率的最小值是，故选.5（导数的几何意义）【山东省德州期中】 函数的图像在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A6（导数的几何意义）已知函数是定义在的可导函数， 为其导函数，当且时， ，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】令 ，则 ,所以当 时, ; 当 时, , 所以函数 在 内为减函数, 在 内为增函数, 且在 时取得极小值,所以 , 故有 , 又 , 所以 .7.（导数的几何意义）若曲线（为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D8.（导数的计算）【福建省福安期中】已知的导函数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】，选A.9. （导数的几何意义）【福建省福州期中】已知函数，若曲线在点，（ ，其中互不相等）处的切线互相平行，则的取值范围是_.【答案】【解析】函数， 曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行，即在点处的值相等，画出导函数的图象，如图， 当时， ， 当时， 必须满足， ，故答案为.10. （导数的几何意义与不等式的结合）已知函数. （1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.11（导数的综合应用）【山东省菏泽期中】已知函数.（1）求在处的切线方程；（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.【解析】（1）由已知得，有， ，在处的切线方程为： ，化简得（2）由（1）知，因为，令，得，所以当时，有，则是函数的单调递减区间； 当时，有，则是函数的单调递增区间当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为， ， ，所以在区间上有两个零点二.易错问题纠错练12. （不能灵活分析问题和解决问题而致错）已知函数.（1）过原点作函数图象的切线，求切点的横坐标；（2）对，不等式恒成立，求实数的取值范围.（）方法一：不等式对， 恒成立,对， 恒成立.设， ， ， .当时， ， 在， 上单调递减，即， 不符合题意. 当时， .设，在， 上单调递增，即. （）当时，由，得， 在， 上单调递增，即， 符合题意； （ii）当时， ， ， 使得，则在， 上单调递减，在， 上单调递增，则不合题意. 综上所述， . （）方法二：不等式对， 恒成立,对， 恒成立.当时， ；当时， ，不恒成立；同理取其他值不恒成立.当时， 恒成立；当时， ，证明恒成立. 设， ， ，.在， 为减函数，. （）方法三：不等式对，恒成立,等价于对， 恒成立. 设，当时， ；，函数过点（0,0）和（1,0），函数过点（1.0），在恒成立，一定存在一条过点（1,0）的直线和函数、都相切或，一定存在一条过点（1,0）的直线相切和函数相交，但交点横坐标小于1，当都相切时不大于等于0. .【注意问题】利用导数可以研究函数的单调性、最值，解题时候要注意导函数的零点和导函数的符号，有时可将目标不等式等价变形。13.（分类讨论不全而致错）已知函数. （1）若时，讨论函数的单调性；（2）若，过作切线，已知切线的斜率为，求证： .调递减区间为；若，当或时， ；当时， ；所以的单调递增区间为；单调递减区间为.综上，当时， 单调递增区间为；单调递减区间为， .当时， 的单调递减区间为；当时， 单调递增区间为 ；单调递减区间为,.(2) ,设切点，斜率为 所以切线方程为 ，将代入得： 由 知代入得：，令,则恒成立，在单增，且， ，令，则，则，在递减，且.【注意问题】讨论函数的单调性就是研究导函数的符号问题，而导函数的零点起到关键性作用，解题时要注意这些零点的大小关系以及与定义域的关系。三.新题好题好好练14已知曲线的一条切线方程为，则实数（）A1BCD【答案】B15已知函数的导函数为,且满足，若，则（）ABC1D2【答案】D【解析】因为，所以，易知，则，所以，于是由，得，解得，故选D16【甘肃省会宁第三次月考】设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】对函数，求导可得，在点处的切线方程为，在点处切线斜率为4，故选C.17【广东省阳春一中第三次月考】设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D18已知曲线，则曲线的切线的斜率最小值为_【答案】【解析】令，则，所以，所以，则，当且仅当时等号成立，取得最小值19已知曲线：，曲线：，若对于曲线上任意一点的切线，在曲线上总存在与垂直的切线，则实数的取值范围是_【答案】
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