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第四节二次函数与幂函数【考纲下载】1了解幂函数的概念；结合函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象，了解它们的变化情况2理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题1幂函数的定义形如yx(R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数2五种幂函数的图象3五种幂函数的性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，) 时，增增增x(0，) 时，减x(，0 时，减x(，0) 时，减4.二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时为非奇非偶函数图象特点对称轴：x；顶点：1函数y(x1)3，yx31，y都是幂函数吗？提示：y(x1)3与yx31不是幂函数；y是幂函数2ax2bxc>0(a0)与ax2bxc<0(a0)恒成立的条件分别是什么？提示：(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的充要条件是1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x解析：选B设f(x)x，则3，2.即f(x)x2.2(教材习题改编) 如图中曲线是幂函数yxn在第一象限的图象已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为()A2，2 B2，2C，2,2， D2，2，解析：选B由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C1，C2，C3，C4所对应的n依次为2， ，2.3函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增解析：选D因为f(x)(m1)x22mx3为偶函数，所以2m0，即m0.所以f(x)x23.由二次函数的单调性可知，f(x)x23在(5，3)上为增函数4已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)4x2mx5的单调递增区间为，所以2，即m16.答案：(，165设函数f(x)mx2mx1，若f(x)0的解集为R，则实数m的取值范围是_解析：当m0时，显然成立；当m0时，解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4,0答案： (4,0 数学思想(二)分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论典例(20xx·运城模拟)已知x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，则实数a的取值范围是()A(0,2) B(2，) C(0，) D(0,4) 解题指导f(x)0恒成立f(x)min0.求函数f(x)x2ax的最小值应抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系进行分类讨论，结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a的不等式求解解析二次函数图象开口向上，对称轴为x，又x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)最小值0.当1，即a2时，f(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a2时，(a)24·0，解得0a2.综上得实数a的取值范围是(0,2)答案A题后悟道二次函数求最值问题，一般先用配方法化为ya(xm)2n的形式，得顶点(m，n)和对称轴方程xm，结合二次函数的图象求解常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4，则实数a的值为_解析：f(x)a(x1)21a.(1)当a0时，函数f(x)在区间1,2上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.答案：或3
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