概率论24节常用离散分布课件

设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量若随机变量X取常数值取常数值C的概率为的概率为1,即即1 )(CXP则称则称X服从服从退化分布退化分布.1概率论24节常用离散分布例例 抛一枚均匀硬币抛一枚均匀硬币 , 令令 则随机变量则随机变量 X 服从服从 (0-1) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为则称则称 X 服从服从 (0-1) 分布分布或或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)Xkp0p 11p2概率论24节常用离散分布 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布刻画分布刻画.说明说明3概率论24节常用离散分布4概率论24节常用离散分布 3 二项分布 记为 X b(n, p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 0,1,.,()(1).kn kknnP Xkppk当n=1时， b(1, p) 为 0-1分布.5概率论24节常用离散分布二项分布的图形二项分布的图形6概率论24节常用离散分布7概率论24节常用离散分布 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？Y b(4, 0.2) 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.8概率论24节常用离散分布9概率论24节常用离散分布10概率论24节常用离散分布11概率论24节常用离散分布若随机变量 X 的概率分布为(),0,1, 2,!kP Xkekk则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X P().4 泊松分布12概率论24节常用离散分布( )XP 满足归一性.1由e1!1e .01.2.kXP.!kek .2!2e xe21.2!nxxxn x 0nP Xne 1!1e 2.2.!e .!nne e 1 1!1 2.2.! .!nn e e 13概率论24节常用离散分布.1XP XkP Xkk若服从参数为的泊松分布,则1)1,1.2) , .P XP Xk =P X kk =当 是正整数时, =为最大值和是最大可能出现次数当 不是正整数时,令 =为最大值是最大可能出现次数14概率论24节常用离散分布泊松分布的数学期望与方差分别为 EX DXEX 泊松分布：.1用同样的方法可求得DX2EX 2()EXe 2!2 1.!(.)n1n .e 1!1e 2!22e 3!33e .!nenn e1!1e .2!2e 2EX 222 e .01.2.nXP!nen 15概率论24节常用离散分布泊松分布的图形泊松分布的图形16概率论24节常用离散分布泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布. . 17概率论24节常用离散分布电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.18概率论24节常用离散分布例2.4.5 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为 8的泊松分布。为了以90%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？ 解按题意要求为件，件，月底的进货量为品设商店每月销售某种商nX0.90P Xn8X服从的泊松分布，则有8080.90knkek！由附录的泊松分布表知 1180128080.8880.9080.9360.90.kkkkekek，！只要在月底进货12件(假定上个月没有存货)，就可以90%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销 。19概率论24节常用离散分布泊松定理定理2.4.1(1) !kkn knnnppekk (二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记 pn 为一次试验中成功的概率.若 npn ，则20概率论24节常用离散分布定理2.4.1 (泊松定理) 在 重贝努利试验中,n事件A在每次试验中发生的概率为np（与试验的次数n有关） 如果n 时，nnp （ 0， 为常数 )则对任意k0,1,2,.,n，有; ,nb k n plimnlimn!kek knp(1)nn kpknC根据此定理,参数为若充分大,n充分小,p则X近似服从的泊松分布. 即np ()knpkp!kek ()npe(1)knpP XkknC!k (,)Xb n p ，21概率论24节常用离散分布二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出22概率论24节常用离散分布23概率论24节常用离散分布24概率论24节常用离散分布25概率论24节常用离散分布 例例2.4.7 有有10 000名同年龄且同社会阶层的人参加了某保名同年龄且同社会阶层的人参加了某保险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳险公司的一项人寿保险。每个投保人在每年初交纳200元元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人获10 000元元的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为的赔偿费。根据生命表知这类人的年死亡率为0.001。试求。试求保险公司在这项业务上保险公司在这项业务上（1）亏本的概率；）亏本的概率； （2）至少获利）至少获利500 000元的概率。元的概率。26概率论24节常用离散分布27概率论24节常用离散分布28概率论24节常用离散分布29概率论24节常用离散分布30概率论24节常用离散分布31概率论24节常用离散分布记为 X h(n, N, M).(),MNMknkP XkNn超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .2.4.3 超几何分布32概率论24节常用离散分布1()(1),1, 2,kP Xkppk记为 X Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数. 几何分布具有无记忆性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 几何分布33概率论24节常用离散分布负二项分布(巴斯卡分布)1()(1),1,1kk r rP Xkppkr rr记为X Nb(r, p). X 为独立重复的伯努里试验中， “第 r 次成功”时的试验次数.34概率论24节常用离散分布注 意 点（1） 二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. n重伯努利试验可看作由n个相同的、独立进行的伯努利试验组成，若将第i个伯努利试验中成功的次数记为Xi b(1,p) (i=1,n), n重伯努利试验成功的总次数X= X1 + X2 + Xn ，它服从b(n,p) .35概率论24节常用离散分布注 意 点（2） 负二项随机变量是独立几何随机变量之和. 做一系列的伯努利试验，如果将首个成功出现时的试验次数记为X1 ，第二个成功出现时的试验次数（从第一次成功之后算起）记为X2 ，第r个成功出现时的试验次数记为Xr , 则Xi 独立同分布，且Xi Ge(p). 此时有 X= X1 + X2 + Xn Nb(r,p).36概率论24节常用离散分布 1. （0 1）分布，其分布律为）分布，其分布律为 pXPpXP 1 ,1 0 解解：pppXE 1) 1 (0) (pppXE 2221) 1 (0) ( )1()()()(222ppppXEXEXD 37概率论24节常用离散分布2 二项分布二项分布 设设 X 服从参数为服从参数为 n、p 的二项分布，其分布律为的二项分布，其分布律为 n , kppknkXPknk , ,10 ,)1( 有有)1( )( , )( pnpXDnpXE 38概率论24节常用离散分布3 泊松分布泊松分布设设 X 服从参数为服从参数为 的泊松分布，其分布律为的泊松分布，其分布律为 0, 1 , 0,! kkekXPkX的数学期望为的数学期望为 eekekeXEkkkk ! )1( ! )( 11039概率论24节常用离散分布又可算得又可算得 1022! )1(! )( kkkkkekkekXE 1111! )1( ! )1( )1(kkkkkkke = 22! )2(kkeke 2 eee 2 2)( )( )( XEXEXD故故40概率论24节常用离散分布常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 41概率论24节常用离散分布常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p242概率论24节常用离散分布43概率论24节常用离散分布44概率论24节常用离散分布45概率论24节常用离散分布832#131cos,0;( )220,.PXxxp xXYY设随机变量 的概率密度函数为其他对 独立重复观察4次, 表示观察值大于 /3的次数,求的数学期望.46概率论24节常用离散分布