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2019届华师大版数学资料第24章知识升华一、知识脉络：二、典例分析：例1 在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，CDAB于点D，求BCD的四个三角函数值【分析】求BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于BCD是在RtBCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把BCD转化成A，显然走第二条路较方便，因为在RtABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案【解】 在RtABC中， ACB90BCDACD90，CDAB，ACDA90，BCDA在RtABC中，由勾股定理得，AB10，sinBCD=sinA=,cosBCD=cosA=,tanBCD=tanA=,cotBCD=cotA=【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换 例2 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AGCD，垂足为G，在RtACG中，可求出CG，从而求得CD，在RtCED中，即可求出CE的长【解】 过点A作AGCD，垂足为点G，在RtACG中，CAG30，BD6，tan30=，CG=6=2，CD=2+1.5,在RtCED中，sin60=，EC=4+答：拉线CE的长为4+米【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为10.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求坡角的度数；完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大坝需要的土方橫断面面积坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为10.5【解】 i=tanB,即tanB=2，B=63.43过点M、N分别作MEAD，NFAD，垂足分别为E、F由题意可知：MENF5，AEDF2.5，AD=4， MN=EF=1.5，S梯形ADNM(1.5+4)12.75需要土方为2.7590=247.5 (m3) 【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度坡角的正切值例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45方向上，测得B在北偏东32方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离（结果精确到1米，参考数据：sin320.5299,cos320.8480,tan s320.6249,cot321.600）【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解RtADC和RtBDC即可【解】过点C作CDAB，垂足为D由题知：=45，=32在RtBDC中，sin32=，BD100sin3252.99cos 32=，CD=100 cos 3284.80在RtADC中，ACD=45，AD=DC=84.80AB=AD+BD138米答：AB间距离约为138米【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形例5 在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)【分析】先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可【解】100； 作OHPQ于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）141（千米）城市O不会受到侵袭【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决第24章测试题设计一、选择题：1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）A8米 B米 C米 D米2、如图，中边上的高为，中边上的高为，下列结论正确的是（）AB C D无法确定3、已知在中，设，当是最小的内角时，的取值范围是ABCD4、如图，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于点M，CNAN于点N则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( ) Aa B C D 5、已知为锐角，则m=sin+cos的值（ ）Am1Bm=1Cm1Dm16、如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）A、或 B、 C、 D、或7、已知为锐角，且cos（90），则的度数为（ ）A30 B60 C45 D758、如图，在RtABC中，C=90， AM是BC边上的中线，则的值为( )A、 B、 C、 D、9、在ABC中，AB=8，ABC=30，AC=5，那么BC的长等于（ ）A、4 B、4+3 C、43 D、4+3或4310、如图，小颖利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） A（）m B（）m C m D4m二、填空题：11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点C点的仰角分别为52和35，则广告牌的高度BC为_米(精确到0.1米)(sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，cos520.62，tan521.28)12、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m13、如图，在RtABC中，ACB=90，AB，沿ABC的中线CM将CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_.15、如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .16、如图所示，某河堤的横断面是梯形，迎水坡长13米，且，则河堤的高为 米17、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30方向上，则灯塔P到环海路的距离PC 米（用根号表示）18、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .19、如图，在RtABC中，CAB=90，AD是CAB的平分线，tanB=，则CDDB= . 20、若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）三、解答题：21、计算：（1）； （2）；22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数） 23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45、B地北偏西60方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41）24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30，A处测得点P的仰角为45，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，DOB100，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm） 26、路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为已知，米，米，请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：28、如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15，求热气球升空点A与着火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：(，）.参考答案：一、选择题：1、C2、C3、A4、C5、A6、D7、B8、A9、D10、A二、填空题：11、3.512、13、14、1:215、16、1217、18、19、1220、或三、解答题：21、（1）；（2）2.522、解: 连结AC，与BD相交于点O， 四边形ABCD是菱形，ACBD,ADB=CDB,AC=2AO ， 当ADC=时，ADC是等边三角形，AC=AD=AB=40 .当ADC=时，ADO=，AO=ADsinADO=40=20，AC=40 ，因此增加的高度为4040=400.73229（cm） 23、解：（1）设CD为x千米，由题意得，CBD=30，CAD=45，AD=CD=x.在RtBCD中，tan30=，所以BD=x.ADDB=AB=40，xx=40.解得 x14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，在RtADC中，CAD=45，AC=CD，方案I用的时间t1=；方案II用的时间t2=； 所以t1t2=.因为340，所以t1t20.所以方案I用的时间少，方案I比较合理.24、解：(1) 在RtBPQ中，PQ=10米，B=30，则BQ=cot30PQ,又在RtAPQ中，PAB=45，则AQ=cot45PQ=10， 即：AB=(+10)(米)；(2) 过A作AEBC于E，在RtABE中，B=30，AB=+10， AE=sin30AB=（+10）=5+5，CAD=75，B=30， C=45，在RtCAE中，sin45，AC=（5+5）=(5+5)(米)25、解：连接AC，BD ， OA=OB=OC=OB ，四边形ACBD为矩形DOB=100, ABC=50，由已知得AC=32，在RtABC中，sinABC=，AB=41.8（cm），tanABC=，BC=26.9（cm），AD=BC =26.9 （cm） 答：椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm. 26、解：设灯柱BC的长为h米，过点A作ADCD于点H，过B作BEAH于点E，四边形BCHE为矩形，ABC120，ABE30，又BADBCD90，ADC60，在RtAEB中，AEABsin301，BEABcos30，CH，又CD12，DH12，在RtAHD中，tanADH，解得，h124（米），灯柱BC的高为（124）米27、解：在中，四边形为平行四边形在中，增加的路程=（米）28、解：由题意可知，AD(4010)301500（米）过点D作DHBA，交BA延长线于点H.在RtDAH中，DHADsin601500750（米）.AHADcos601500750（米）.在RtDBH中，BHDHcos15750(2)（15002250）（米），BABHAH150022507501500（1）（米）.答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（1）（米）精品华师大版教学资料精品华师大版教学资料
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