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+2019年数学高考教学资料+第三节圆 的 方 程考点一求圆的方程 例1(1)经过点A(5,2)，B(3，2)，且圆心在直线2xy30上的圆的方程为_(2)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_自主解答(1)法一：由题知kAB2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)圆过A(5,2)，B(3，2)两点，圆心一定在线段AB的垂直平分线上则解得C(2,1)，r|CA|.所求圆的方程为(x2)2(y1)210.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则 解得故圆的方程为(x2)2(y1)210.法三：设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，则解得D4，E2，F5.所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22b2(1b)2r2，得b，r2.故圆C的方程为(x2)22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)22【互动探究】本例(2)中“与直线y1相切”改为“圆心在y1上”，结果如何？解：圆过点O(0,0)和点(4,0)圆心在直线x2上，又圆心在y1上，圆心的坐标为(2,1)，半径r.因此，圆的方程为(x2)2(y1)25. 【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值求下列圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3.与y4x联立可得圆心为(1，4)，所以半径r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F>0)则解得D2，E4，F95，所以所求圆的方程为x2y22x4y950.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的中垂线方程为3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30.来源:联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.考点二与圆有关的轨迹问题 例2(2013·新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.自主解答由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，来源:由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90°，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆M相切得1，解得k±.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，x2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kAC·kBC1，所以·1，即x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x02x3，y02y代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3且x1)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1)高频考点考点三 与圆有关的最值问题1与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题2高考中主要有以下几个命题角度：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题；(2)与圆上的点(x，y)有关的代数式的最值问题例如，形如u型；形如taxby型；形如(xa)2(yb)2型例3(1)(2013·重庆高考)设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6 B4 C3 D2(2)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_来源:自主解答(1)当PQ所在直线过圆心且垂直于直线x3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，1)到直线x3的距离减去半径2，即最小值为4.(2)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.来源:来源:答案(1)B(2)2与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4.所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.课堂归纳通法领悟1种方法待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线高考数学复习精品高考数学复习精品
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