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【考纲下载】1结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解1函数的零点(1)定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法1函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点2若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)f(b)0.3若函数yf(x)在区间(a，b)内，有f(a)f(b)0成立，那么yf(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个1(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是() A BCD解析：选C由图象可知，选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解2(教材习题改编)用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)f (4)0，给定精确度0.01，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间为()A(2,4) B(3,4)C(2,3) D(2.5,3)解析：选Cf(2)f(4)0，f(2)f(3)0，零点x0所在的区间为(2,3)3函数f(x)log2xx4的零点所在的区间是()A. B(1,2) C(2,3) D(3, 4)解析：选C因为f(2)log222410，所以f(2)f(3)0，故零点所在的一个区间为(2,3)4函数f(x)ex3x的零点个数是()A0 B1 C2 D3解析：选B函数f(x)ex3x零点的个数，即为函数yex与y3x图象交点的个数在同一坐标系下画出yex与y3x的图象如图故函数f(x)ex3x只有一个零点5函数y|x|m有两个零点，则m的取值范围是_解析：在同一直角坐标系内，画出y1|x|和y2m的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0m1.答案：(0,1) 数学思想(四)利用数形结合解决方程根的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决典例(20xx福建高考)对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设f(x)(2x1)*(x1)，且关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是_解题指导方程f(x)m恰有三个互不相等的实数根，即函数f(x)的图象与直线ym恰有三个不同的交点，可借助图形确定x1，x2，x3的范围，进而求出x1x2x3的范围解析由定义可知，f(x)(2x1)*(x1)即f(x)作出函数f(x)的图象，如图所示，关于x的方程f(x)m恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，即函数f(x)的图象与直线ym有三个不同的交点，则0m0时，x2xm，即x2xm0，x2x31，0x2x32，即0x2x3；当x0时，由得x，x10，即0x1.0x1x2x3，故x1x2x30.答案题后悟道1.解决本题的关键有以下三点：(1)根据新定义正确求出函数f(x)的解析式，并准确画出其图象；(2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x2x3的范围；(3)正确确定x1的取值范围2函数yf(x)有零点方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1,1时，f(x)1x2，函数g(x)则方程f(x)g(x)0在区间5,5上的解的个数为()A5 B7 C8 D10解析：选C依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，结合图象得，当x5,5时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f(x)g(x)0在区间5,5上的解的个数为8.
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