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+2019年数学高考教学资料+第二节导数的应用(一)【考纲下载】1了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导，则(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件2导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件3函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间a，b上所有函数值的比较因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值来源:数理化网1如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断中正确的是()A函数f(x)在区间(3,0)上是减函数B函数f(x)在区间(3,2)上是减函数来源:C函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D函数f(x)在区间(3,2)上是单调函数解析：选A当x(3,0)时，f(x)0，得ex10，即x0.3设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)ln x，f(x)，当x2时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x2时，f(x)0，此时f(x)为减函数，据此知x2为f(x)的极小值点4已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_解析：f(x)3x2a0，即a3x2，又x1，)，a3，即a的最大值是3.答案：35函数f(x)x23x4在0,2上的最小值是_解析：f(x)x22x3，令f(x)0得x1(x3舍去)，又f(0)4，f(1)，f(2)，故f(x)在0,2上的最小值是f(1).答案：压轴大题巧突破(三)来源:利用导数研究函数的极值、最值问题典例(2013浙江高考)(14分)已知aR，函数f(x)x33x23ax3a3.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当x0,2时，求|f(x)|的最大值化整为零破难题(1)切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可；(2)基础问题1：|f(x)|的最大值与f(x)的最值之间有什么关系？如果函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则|f(x)|的最大值必定是|M|和|m|中的一个因此要求|f(x)|的最大值，应求f(x)的最值基础问题2：如何求函数yf(x)，x0,2的最值？由于f(x)是关于x的三次函数，因此，f(x)在0,2上的最值为函数f(x)在0,2上的端点值或极值从而只要求出f(x)在0,2上的端点值f(0)，f(2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可基础问题3：如何求f(x)在0,2上的极值？要求f(x)在0,2上的极值，应利用导数研究函数f(x)在区间0,2上的单调性，即研究f(x)3(x1)23(a1)(0x2)的函数值符号，由于0x2，所以03(x1)23.故应分3(a1)0,3(a1)3，33(a1)0，即a1，a0,0a1三种情况讨论当a1或a0时，函数f(x)为单调函数，故只需比较|f(0)|与|f(2)|的大小即可；当0a0，f(x)极大值f(x)极小值0，从而可确定f(x)极大值|f(x)极小值|.因此|f(x)|maxmax，由于0a|f(2)|，a1时，|f(2)|f(2)|f(0)|.故当0a时，只需比较|f(0)|与f(x)极大值的大小即可；当a1时，只需比较f(2)与f(x)极大值的大小即可规范解答不失分(1)由题意得f(x)3x26x3a，故f(1)3a3. 2分又f(1)1，所以所求的切线方程为y(3a3)x3a4. 4分(2)由于f(x)3(x1)23(a1)，0x2，故()，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递减，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|33a. 5分()，有f(x)0，此时f(x)在0,2上单调递增，故|f(x)|maxmax|f(0)|，|f(2)|3a1. 6分 ()当0a1时，设x11，x21，则0x1x20，f(x1)f(x2)4(1a) 0，从而f(x1)|f(x2)|.所以|f(x)|maxmaxf(0)，|f(2)|，f(x1). 10分a.，f(0)|f(2)|.又f(x1)f(0)2(1a)(23a)0，故|f(x)|maxf(x1)12(1a). 11分b.，|f(2)|f(2)，且f(2)f(0)又f(x1)|f(2)|2(1a)(3a2)，所以，f(x1)|f(2)|.故f(x)maxf(x1)12(1a).12分，f(x1)|f(2)|.故f(x)max|f(2)|3a1. 13分综上所述，|f(x)|max 14分易错警示要牢记易错点一处易忽视对a0和a1两种情况的讨论，而直接令f(x)0，求出x11，x21而导致解题错误易错点二处易发生不会比较f(x1)与|f(x2)|的大小，造成问题无法求解，或求解繁琐，进而造成解题失误易错点三处易发生不知如何比较f(0)，|f(2)|，f(x1)三者大小而造成问题无法后续求解事实上，此处的分类依据是：先比较出f(0)与|f(2)|的大小，然后利用二者中的较大者再与f(x1)比较大小高考数学复习精品高考数学复习精品
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