高考数学复习：第七章 ：第三节空间、线、面之间的位置关系突破热点题型

+2019年数学高考教学资料+第三节空间点、线、面之间的位置关系 考点一平面的基本性质及应用 例1(2013安徽高考)如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)当0CQ时，S为四边形；当CQ时，S为等腰梯形；当CQ时，S与C1D1的交点R满足 C1R；当CQ1时，S为六边形；当CQ1时，S的面积为.自主解答对于，如图1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，当CQ时，PQ，这时过A，P，Q三点的截面与正方体表面交于点D1，APD1Q，且PQAD1，截面S为等腰梯形，当0CQ时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故正确；对于，如图2，延长QR交DD1的延长线于点N，连接AN交A1D1于点M，连接MC1.取AD的中点G，作GHPQ交DD1于点H，可得GHAN，且GHAN，设CQt，则DN2t，ND12t1，当t时，可得C1R，故正确，当t1时，S为五边形，故错误，当t1时，M为A1D1的中点，来源:S为菱形APC1M，AN，APPC1，C1N，S的面积菱形APC1M的面积2SC1MN2，故正确答案【方法规律】共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明：(1)连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)四边形EFD1C是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点考点二空间两条直线的位置关系 例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确结论的为_(写出所有正确结论的序号)自主解答直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B、B1、N在平面B1C中，点M在此平面外，所以BN、MB1是异面直线同理AM、DD1也是异面直线答案【互动探究】在本例中，若M，N分别为BC1，CD1的中点，试判断MN与A1B1的位置关系解：由于MN与平面DCC1D1相交于N点，C1D1平面DCC1D1，且C1D1与MN没有公共点，所以MN与C1D1是异面直线又因为C1D1A1B1，且A1B1与MN没有公共点，所以A1B1与MN是异面直线 【方法规律】判定空间直线位置关系的三种类型及方法(1)异面直线，可采用直接法或反证法来源:数理化网(2)平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理(3)垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决如图所示，G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图(1)中，直线GHMN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面来源:所以图(2)、(4)中GH与MN异面答案：(2)(4)考点三异面直线所成的角 例3如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值自主解答(1)SABC222，故三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，则DEBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，则cosADE.即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.【方法规律】1找异面直线所成的角的三种方法(1)利用图中已有的平行线平移(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移(3)补形平移2求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角来源:(3)算：通过解三角形，求出该角在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90解析：选C分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，连接DE，EF，DF，如图所示，则BA1DE，AC1EF.所以异面直线BA1与AC1所成的角为DEF(或其补角)，设ABACAA12，则DEEF，DF，由余弦定理得，cosDEF，则DEF120.又因为异面直线夹角的取值范围为，所以异面直线BA1与AC1所成的角为60.课堂归纳通法领悟2种方法异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面来源:3个作用3个公理的作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内；由直线的直刻画平面的平(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线高考数学复习精品高考数学复习精品