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2019届高考数学复习资料高考真题备选题库第8章 平面解析几何第5节 椭圆考点一 椭圆的定义、标准方程1（2013广东，5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：本题主要考查椭圆的图像、方程、性质等知识，考查数形结合的数学思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、运算求解能力依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：D2（2013山东，14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)A，B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设t，求实数t的值解：本题综合考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力(1)设椭圆C的方程为1(a>b>0)，由题意知解得a，b1，因此椭圆C的方程为y21.(2)()当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为xm，由题意得<m<0或0<m<.将xm代入椭圆方程y21，得|y| ，所以SAOB|m| ，解得m2或m2.又tt()t(2m,0)(mt,0)，因为P为椭圆C上一点，所以1.由得t24或t2，又t>0，所以t2或t.()当A，B两点关于x轴不对称时，设直线AB的方程为ykxh，将其代入椭圆的方程y21，得(12k2)x24khx2h220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由判别式>0可得12k2>h2，此时x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2h，所以|AB|2·· .因为点O到直线AB的距离d，所以SAOB·|AB|·d×2··· ·|h|.又SAOB，所以· ·|h|.令n12k2，代入整理得3n216h2n16h40，解得n4h2或nh2，即12k24h2或12k2h2.又tt()t(x1x2，y1y2)，因为P为椭圆C上一点，所以t2221，即1.将代入得t24或t2.又t>0，所以t2或t.经检验，符合题意综合()()得t2或t.3（2011浙江，5分）已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2Ba213Cb2 Db22解析：对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，则|OC|，因tanCOx2，sinCOx，cosCOx，则C的坐标为(，)，代入椭圆方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C4.(2012安徽，13分)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260°.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解：(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)法一：a24c2，b23c2，直线AB的方程可为y(xc)将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B(c，c)所以|AB|·|c0|c.由SAF1B|AF1|·|AB|sin F1ABa·c·a240，解得a10，b5.法二：设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60°可得，ta.由SAF1Ba·a·a240知，a10，b5.5(2011陕西，12分)设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.()求C的方程；()求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：()将(0,4)代入C的方程得1，b4，又e得，即1，a5，C的方程为1.()过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2，AB的中点坐标，(x1x26)，即中点坐标为(，)注：用韦达定理正确求得结果，同样给分考点二 椭圆的简单几何性质1（2013新课标全国，5分）设椭圆C：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230°，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：本题主要考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的定义、方程与几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e.法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y±，所以|PF2|.又由PF1F230°可得|F1F2|PF2|，故2c·，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：D2（2013辽宁，5分）已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B.C. D.解析：本题主要考查圆锥曲线的定义、离心率，解三角形等知识，意在考查考生对圆锥曲线的求解能力以及数据处理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.答案：B3（2013四川，5分）从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：本题主要考查椭圆的简单几何性质，意在考查曲线和方程这一解析几何的基本思想由已知，点P(c，y)在椭圆上，代入椭圆方程，得P.ABOP，kABkOP，即，则bc，a2b2c22c2，则，即该椭圆的离心率是.答案：C4（2013福建，4分）椭圆：1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：本题主要考查椭圆的定义、图像和性质等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力直线y(xc)过点F1(c,0)，且倾斜角为60°，所以MF1F260°，从而MF2F130°，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以该椭圆的离心率e1.答案：15（2012新课标全国，5分）设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A. B.C. D.解析：由题意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C6（2012江西，5分）椭圆1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为()A.B.C. D.2解析：依题意得|F1F2|2|AF1|·|F1B|，即4c2(ac)(ac)a2c2，整理得5c2a2，所以e.答案：B7（2011新课标全国，5分）椭圆1的离心率为()A. B.C. D.解析：由1可得a216，b28，c2a2b28.e2.e.答案：D8（2010福建，5分）若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为()A2 B3C6 D8解析：由椭圆1，可得点F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，2x2，则·x2xy2x2x3(1)x2x3(x2)22，当且仅当x2时，·取得最大值6.答案：C高考数学复习精品高考数学复习精品
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