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+2019年数学高考教学资料+第六节几 何 概 型 高频考点考点一 与长度有关的几何概型1与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下几个命题角度：(1)与线段长度有关的几何概型；(2)与曲线长度有关的几何概型；(3)与时间有关的几何概型；(4)与不等式有关的几何概型例1(1)(2013·福建高考)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a1<0”发生的概率为_(2)在区间上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_自主解答(1)由3a1<0，得a<，而01的长度为1，故所求概率为.(2)当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.答案(1)(2)【互动探究】本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？解：当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为. 与长度有关的几何概型的常见类型及解题策略(1)与线段长度有关的几何概型利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可(2)与曲线长度有关的几何概型利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可(3)与时间有关的几何概型利用几何概型公式，求时间段之比即可(4)与不等式有关的几何概型利用几何概型公式，求两实数之间距离之比即可1(2013·湖北高考)在区间2,4上随机取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.解析：由|x|m，得mxm，当m2时，由题意得，解得m2.5，矛盾，舍去当2<m<4时，由题意得，解得m3.答案：32已知集合Ax|1<x<5，B，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率是_来源:解析：由题意得Ax|1<x<5，Bx|2<x<3，由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则xAB的概率为P.答案：考点二与面积有关的几何概型 来源:来源:例2(1)(2013·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A1 B.1 C2 D.(2)(2013·四川高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()A. B. C. D.自主解答(1)依题意知，有信号的区域面积为×2，矩形面积为2，故无信号的概率P1.(2)设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则如图所示，不等式组所表示的图形面积为16，不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16412，由几何概型的概率公式可得P.答案(1)A(2)C【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解1(2014·邛崃模拟)已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是()A2 B1 C2 D1解析：选B如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内，ABC为等腰三角形，假设ABAC5，易知AD4，ABC的面积是12，由于三角形内角和等于，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2，故空白区域的面积是122，所求的概率为1.2已知平面区域U(x，y)|xy6，x0，y0，A(x，y)|x4，y0，x2y0，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为_解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU18，SA4，则点P落入区域A的概率为P.答案：考点三与角度有关的几何概型 例3 如图所示，在ABC中，B60°，C45°，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率 自主解答因为B60°，C45°，所以BAC75°.在RtABD中，AD，B60°，所以BD1，BAD30°.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得BAM<BAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).【互动探究】若本例中“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率来源:解：依题意知BCBDDC1，P(BM<1). 【方法规律】与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段提醒：有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查1. 如图，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为.答案：2如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是_解析：连接圆心O与M点，作弦MN使MON90°，这样的点有两个，分别记为N1，N2，仅当点N在不包含点M的半圆弧上取值时，满足MN>R，此时N1ON2180°，故所求的概率为.答案：来源:课堂归纳通法领悟1条规律对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法2种方法判断几何概型中的几何度量形式的方法(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域 高考数学复习精品高考数学复习精品
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