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+2019年数学高考教学资料+第五节直接证明与间接证明 考点一分析法的应用 例1已知函数f(x)3x2x，求证：对于任意的x1，x2R，均有f.自主解答要证明f，即证明32·，因此只要证明(x1x2)3(x1x2)，即证明3，因此只要证明，由于x1，x2R，所以3x1>0,3x2>0，由基本不等式知显然成立，故原结论成立【方法规律】利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证来源:已知非零向量a、b，且ab，求证：.证明：aba·b0，要证.只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22a·bb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证.考点二综合法与分析法的综合应用 例2(2013·湖北高考)如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中 (1)证明：中截面DEFG是梯形；(2)在ABC中，记BCa，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1A2B2C2的体积V)时，可用近似公式V估S中·h来估算已知V(d1d2d3)S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明自主解答(1)证明：依题意A1A2平面ABC，B1B2平面ABC，C1C2平面ABC，所以A1A2B1B2C1C2.又A1A2d1，B1B2d2，C1C2d3，且d1<d2<d3.所以四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形由AA2平面MEFN，AA2平面AA2B2B，且平面AA2B2B平面MEFNME，可得AA2ME，即A1A2DE.同理可证A1A2FG，所以DEFG.又点M，N分别为AB，AC的中点，则点D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE、FG分别为梯形A1A2B2B1、A1A2C2C1的中位线因此DE(A1A2B1B2)(d1d2)，FG(A1A2C1C2)(d1d3)，而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形(2)V估<V.证明如下：由A1A2平面ABC，MN平面ABC，可得A1A2MN.而EMA1A2，所以EMMN，同理可得FNMN.由MN是ABC的中位线，可得MNBCa，即为梯形DEFG的高，因此S中S梯形DEFG·(2d1d2d3)，即V估S中·h(2d1d2d3)又Sah，所以V(d1d2d3)S(d1d2d3)于是VV估(d1d2d3)(2d1d2d3)(d2d1)(d3d1)由d1<d2<d3，得d2d1>0，d3d1>0，故V估<V.【方法规律】综合法与分析法联袂应用的技巧综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法分析，综合法书写这一点在立体几何中应用最为明显，同时，在数列、三角、解析几何中也大多是利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数试判断g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由证明：g(x)2x1(x0,1)是理想函数，证明如下：因为x0,1，所以2x1,2x10，即对任意x0,1，总有g(x)0，满足条件.g(1)211211，满足条件.当x10，x20，x1x21时，g(x1x2)2 x1x21，g(x1)g(x2)2 x112 x21，于是g(x1x2)g(x1)g(x2)(2 x1x21)(2 x112 x21)来源:2 x1·2 x22 x12 x21(2 x11)(2 x21)由于x10，x20，所以2 x110,2 x210，于是g(x1x2)g(x1)g(x2)0，因此g(x1x2)g(x1)g(x2)，满足条件，故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数高频考点考点三 反证法的应用来源:1反证法的应用是高考的常考内容，题型为解答题，难度适中，为中高档题2高考对反证法的考查常有以下两个命题角度：(1)证明否定性命题；(2)证明存在性问题例3(2013·北京高考)已知an是由非负整数组成的无穷数列该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数证明：dnd(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.自主解答(1)d1d21，d3d43.(2)证明：(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an，因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因为dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn，又anAn，an1Bn，所以anan1，于是，Anan，Bnan1.因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列来源:(3)证明：因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，anB11.假设an(n2)中存在大于2的项设m为满足am>2的最小正整数，则m2，并且对任意1k<m，ak2.又a12，所以Am12，且Amam>2.于是，BmAmdm>211，Bm1minam，Bm2.故dm1Am1Bm1220，与dm11矛盾所以对于任意n1，有an2，即非负整数列an的各项只能为1或2.因为对任意n1，an2a1，所以An2.故BnAndn211.因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且am1，即数列an有无穷多项为1.反证法应用问题的常见类型及解题策略(1)证明否定性命题解决此类问题分三步：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论正确(2)证明存在性问题证明此类问题的方法类同问题(1)1(2013·陕西高考)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列解：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)证明：假设an1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列2已知f(x)x2pxq.求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.证明：(1)因为f(x)x2pxq，所以f(1)1pq，f(2)42pq，f(3)93pq，则f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.来源:(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，即|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，则<f(1)<，<f(2)<，<f(3)<.由同向不等式性质，得2<f(1)f(3)2f(2)<2.这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾故原命题结论成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.课堂归纳通法领悟1种关系综合法与分析法的关系综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用2个注意点利用分析法和反证法应注意的问题(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性(常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”)，等分析到一个明显成立的结论(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的3个关键点反证法证明的关键点(1)准确反设；(2)从否定的结论正确推理；(3)得出矛盾高考数学复习精品高考数学复习精品
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