高考数学复习：第五章 ：第四节　数列求和突破热点题型

+2019年数学高考教学资料+第四节数 列 求 和 考点一公式法求和 例1(2013·浙江高考)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d<0，求|a1|a2|a3|an|.自主解答(1)由题意得5a3·a1(2a22)2，即d23d40.故d1或d4.所以ann11，nN*或an4n6，nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d1，ann11.则当n11时，|a1|a2|a3|an|Snn2n.当n12时，|a1|a2|a3|an|Sn2S11n2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|【方法规律】三类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列的通项公式乘以(1)n.已知数列an的通项公式是an2·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.解：Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶数时，Sn2×ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2×(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.来源:综上所述，Sn考点二错位相减法求和 例2已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tna1b1a2b2anbn，nN*，证明Tn8an1bn1(nN*，n2)自主解答(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件，得方程组解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)证明：由(1)，得Tn2×25×228×23(3n1)×2n，2Tn2×225×23(3n4)×2n(3n1)×2n1.由，得Tn2×23×223×233×2n(3n1)×2n1(3n1)×2n12(3n4)×2n18，即Tn8(3n4)×2n1.而当n2时，an1bn1(3n4)×2n1，所以Tn8an1bn1，nN*，n2.【互动探究】在本例(2)中，若Tnanb1an1b2a1bn，nN*，求证：Tn122an10bn(nN*)证明：由(1)，得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.，得Tn2(3n1)3×223×233×2n2n22n26n210×2n6n10.而2an10bn122(3n1)10×2n1210×2n6n10，故Tn122an10bn，nN*. 【方法规律】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解来源:已知数列an满足a13，an13an3n(nN*)，数列bn满足bn.(1)证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式；来源:(2)求数列an的前n项和Sn.解：(1)由bn，得bn1，又an13an3n，bn1bn.来源:数列bn是等差数列，其首项b11，公差为.bn1(n1).(2)an3nbn(n2)×3n1.Sna1a2an3×14×3(n2)×3n1，3Sn3×34×32(n2)×3n.，得2Sn3×13323n1(n2)×3n213323n1(n2)×3n(n2)×3n，Sn.高频考点考点三 裂项相消法求和1裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题2高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：(1)直接考查裂项相消法求和；(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和例3(2013·广东高考)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sna4n1，nN*，且a2，a5，a14构成等比数列(1)证明：a2；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.自主解答(1)证明：an>0，令n1，有4S1a41，即4a1a5，a2.(2)当n2时，4Sna4n1,4Sn1a4(n1)1，两式相减得4anaa4，有a(an2)2，即an1an2，an从第2项起，是公差为2的等差数列，a5a23×2a26，a14a212×2a224，又a2，a5，a14构成等比数列，有aa2·a14，则(a26)2a2(a224)，解得a23，由(1)得a11，又an1an2(n2)an是首项为1，公差为2的等差数列，即an1(n1)×22n1.(3)证明：由(2)得<.裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略(1)直接考查裂项相消法求和解决此类问题常用的裂项有：；.(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式1正项数列an满足：a(2n1)an2n0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由a(2n1)an2n0，得(an2n)(an1)0.由于an是正项数列，所以an2n.来源:(2)已知an2n，bn，则bn.Tn.2设数列an满足a12a222a32n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，cn，记Snc1c2cn，证明：Sn<1.解：(1)由题意a12a222a32n2an12n1an，nN*，当n2时，a12a222a32n2an1.两式相减，得2n1an.所以，当n2时，an.当n1时，a1也满足上式，所求通项公式an(nN*)(2)证明：bn，cn，Snc1c2cn1<1.课堂归纳通法领悟2种思路解决非等差、等比数列求和问题的两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和3个注意点应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题(1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差(2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分q1和q1两种情况求解 高考数学复习精品高考数学复习精品