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+2019年数学高考教学资料+第六节双 曲 线考点一双曲线的定义、标准方程 例1(1)(2013·天津高考)已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a>0，b>0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_(2)(2013·辽宁高考)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_自主解答(1)由抛物线y28x可知其准线方程为x2，所以双曲线的左焦点为(2,0)，即c2；来源:又因为离心率为2，所以e2，故a1，由a2b2c2知b23，所以该双曲线的方程为x21.(2)由1，得a3，b4，c5，所以|PQ|4b16>2a，又因为A(5,0)在线段PQ上，所以P，Q在双曲线的一支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知：所以|PF|QF|28.即PQF的周长是|PF|QF|PQ|281644.答案(1)x21(2)44【互动探究】本例(2)中“若PQ的长等于虚轴长的2倍”改为“若PQ的长等于实轴长的2倍”，则结果如何？解：依题意知|PQ|4a12>2a.又A(5,0)在线段PQ上，PQ在双曲线的一支上同样|PF|PA|2a6，|QF|QA|2a6.|PF|QF|24.PQF的周长是|PF|QF|PQ|241236.【方法规律】双曲线定义运用中的两个注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义；(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支1已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2()A. B. C. D.解析：选C由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，|PF1|2|PF2|4，则cosF1PF2.2已知ABP的顶点A，B分别为双曲线1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A. B. C. D.解析：选A在ABP中，由正弦定理知.来源:考点二直线和双曲线的综合 例2(2013·全国高考)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y2与C的两个交点间的距离为.(1)求a，b；(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列自主解答(1)由题设知3，即9，故b28a2.所以C的方程为8x2y28a2.将y2代入上式，解得x± .由题设知，2 ，解得a21.所以a1，b2.(2)证明：由(1)知，F1(3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2y28.由题意可设l的方程为yk(x3)，|k|<2，代入并化简，得(k28)x26k2x9k280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x11，x21，x1x2，x1x2.于是|AF1|(3x11)，|BF1|3x21.由|AF1|BF1|，得(3x11)3x21，即x1x2.故，解得k2，从而x1x2.由于|AF2|13x1，|BF2|3x21，故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4，来源:|AF2|·|BF2|3(x1x2)9x1x2116.从而|AF2|·|BF2|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列【方法规律】求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系解决这类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系及整体代入的思想解题设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k，则|AB|x1x2|.过双曲线1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积解：(1)由双曲线的方程，得a，b，c3，F1(3,0)，F2(3,0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x26x270.x1x2，x1x2.|AB|x1x2| · ·.(2)直线AB的方程变形为x3y30.原点O到直线AB的距离为d.SAOB|AB|·d××.高频考点考点三 双曲线的几何性质及应用1双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题2高考对双曲线几何性质的考查主要有以下几个命题角度：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程；(4)求双曲线的焦点(距)、实虚轴长例3(1)(2013·新课标全国卷)已知双曲线C：1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ay±x By±xCy±x Dy±x(2)(2013·浙江高考)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.自主解答(1) ，所以，故所求的双曲线渐近线方程是y±x.(2)设双曲线C2的实半轴长为a，焦半距为c，|AF1|m，|AF2|n，由题意知c，2mn(mn)2(m2n2)4，(mn)2m2n22mn8,2a|mn|2，a，则双曲线C2的离心率e.答案(1)C(2)D与双曲线几何性质有关问题的常见类型及解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线方程依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解1(2013·湖北高考)已知0<<，则双曲线C1：1与C2：1的()A实轴长相等 B虚轴长相等C离心率相等 D焦距相等解析：选D0<<，sin <cos .由双曲线C1：1知实轴长为2sin ，虚轴长为2cos ，焦距为2，离心率为.由双曲线C2：1知实轴长为2cos ，虚轴长为2sin ，焦距为2，离心率为.2(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B依题意c3，又e，a2，b2 c2a2 32225，C的方程为1.3(2013·湖南高考)设F1，F2是双曲线C：1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为_解析：不妨设点P在双曲线C的右支上且F1，F2分别为左、右焦点，由双曲线定义知|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，来源:由，得|PF1|4a，|PF2|2a.因为c>a，所以2c>2a，所以在PF1F2中，PF1F2为最小内角，因此PF1F230°.在PF1F2中，由余弦定理可知，|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|·|F1F2|·cos 30°，即4a216a24c28ac.所以c22ac3a20，两边同除以a2得e22e30.解得e.答案：课堂归纳通法领悟1个规律等轴双曲线的离心率及渐近线的关系双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)2种方法求双曲线标准方程的两种方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应的a，b的值即可求得方程(2)待定系数法定值：根据条件确定相关参数待定系数法求双曲线方程的常用方法3个关注点双曲线几何性质的关注点双曲线的几何性质可从以下三点关注：(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)、两渐近线；(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形3个防范双曲线问题的三个易混点(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c大小关系，在双曲线中c2a2b2，而在椭圆中a2b2c2.(2)双曲线的离心率e(1，)，而椭圆的离心率e(0,1)来源:(3)双曲线1(a>0，b>0)的渐近线方程是y±x，1(a>0，b>0)的渐近线方程是y±x.高考数学复习精品高考数学复习精品
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