平面三角函数综合问题

平面三角函数综合问题上海市第五十四中学连月桂教学目的： 三角函数是高中数学的一部分，它与其它数学知识之间有着广泛而又密切的联系，认真分析和运用这些联系，可以提高分析问题、解决问题的能力，又由于三角函数这部分内容的工具性作用很强， 在做综合习题时应注意知识的实际应用，而不必追求题目的难度、深度，更不必过分追求解题技巧，而应在提高自己解题能力上多花功夫教学重点、难点：灵活运用三角函数有关公式解决实际问题教学过程： 典型例题例1.如图2,建筑物AE与地面垂直，在某点 B处测得建筑物 AE的顶端A的仰角为0 ,沿 直线BE方向前进30m到点C,测得顶端A的仰角为2。，再沿直线BE前进10出小，至ij D点测得顶端A的仰角为4。，求AE的高和0角.解：由已知 BC=30m CD =10，3m在 RtABE中，BE=AE ctg8在 RtACE中，CE=AE- ctg2 0 . BC=BE-CE=AEctg 0 -ctg2 9)同理可得 CD=CE-DE=AEctg2 0 -ctg4 0 )子曰 BC AE(ctg -ctg2RCD AE(ctg2? - ctg4R即30二网吟=2cos210 v 3 ctg 2 1-ctg 41 cos29 =逐，得 2 0=30。, 0 =15。2AE = AC = BC = 15m 22，建筑物高为 15ml 0 =15这是一个三角函数在实际测量方面的应用题.在解决过程中运用了几何知识和方程的思想，显然，三角函数式的化简，在解题中起到了关键的作用这一题应用题考的是三角知识，但三角知识本身并不难，难在“翻译”，将自然语言翻译成数字语言.解应用题实质就是根据题目列出几个等式，根据题目，很容易给出，AEAE BC =, CD =.这类题目根本没有思考余地 .sin 2sin 4例 2.4ABC 的三个内角为 A B、C 互不相等，方程：(sinB-sinC)x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0有两个相等的实根.AC求tg tg 的值.22(2)求角B的范围.解：(1)由方程(sinB-sinC)x 2+(sinC-sinA)x+sinA-sinB=0有两个相等实根，可知sinB-sinC w 0,且： 二 (sinC-sinA ) 2-4(sinB-sinC)(sinA-sinB)=0即 sin 2A+sin 2C+4sin2B+2sinAsinC-4sinAsinB-4sinBsinC=0(sinC+sinA-2sinB) 2=0sinC+sinA=2sinB又由 ABC中，A+B+CfsinC+sinA=2sin(A+C) AC 1应用和差化积与彳角公式，得tg A 4g C = 1223(2)由(1)中，sinC+sinA=2sinB ,应用正弦定理，可得 a+c=2bO 1O即 b (a c)4cosB 二222a c -b2ac_223(a c ) _18ac 4a2+c22ac,当且仅当a=c时等号成立，而由已知条件awc,即等号不能成立.222a c -bcosB 二2ac223(a c ) 18ac 46ac 11=8ac 42=cos60由B为 ABC的内角，得 0 B60 .本题把三角函数的知识和方程的知识，不等式的知识巧妙地结合在一起，对同学们解 题能力的提高，是一个有效的锻炼.事实上，综合题不一定就是难题，它的主要特点是运用知识的灵活性和技巧性，例如在本题(1)中，因为已知方程有两个等根，可将原方程左边因式分解为(x-1)(x+1)sinB-xsinC-sinA=0，于是两根立刻可以求得：xi=X2=1,然后把x=1代入(x-1)sinB-xsinC-sinA=0 ,可得到 sinA+sinC-2sinB=0 ,剩下的问题就好解多了.例3.在 ABC中，三个内角 A、B C满足：sin C = sin A+sin B 其内切圆半径为 ， cos A cosBr外接圆半径为R,求E的最大值，并指出此时 ABC的形状.解：4ABC中，A+B+C=tsin A sin B 由 sinC =cosA cosBC cos2.C sin 2iC C 一 一 . C 又由 sin C =2sin cos(二角形 ABC 中，cos丰 0) 222,c/2sin =22即 C=90 .ABE直角,设其三边为 a、b、c,可得其外接圆半径即斜边之半为内切圆半径为,rRabr 二a b c aba b c 2ab 2sin Asin B=a b c =(其中 sinC=1 )c c(a b c) sin A sin B 12_cos(A- Bf)- cos(A+ B)A-B ,2 sincos+ 122其中 cos(A+B)=0cos(A- B)r A- BV2 cos+ 131当且仅当A=B时，即A = B=时等号成立.4的最大值为 J2 -1 ,此时 ABC为等腰直角三角形R本题是三角形内的三角函数问题，在处理这一类问题时，实际上多了一些隐含条件：A+B+C=，且 A、B C均在（0,兀）范围内，并且有 sin（A+B尸sinC , cos（A+B尸-cosC ;A+BC A+BCsin= cos cos= sin 22 ,22 ;并且要熟练掌握正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式等例1,例3都是关于三角形中的三角运算 .例2的实质前提是sinA+sinC=2sinB.所有的高一A C 1学生都应该做过几遍这一题了，以后记住sinA+sinC=2sinB ,就是告诉你tg tg =,22 3A C在许多题目中，tg tg 并不是最后所求，为了解题，你往往要把所求的式子化为含 22A C tgtg 的然后代入.例3前提挺复杂，一看到题目，就应该自觉地化简前提.例2,例223这一类题目往往出的很规范，化简前提中要用 A+B+C=t ,化简过程中往往只留下 A+B, A+C,A, B, C, B+C之类项，而约去二角差的三角函数.另一点，三角形中角与边的互换利用是这一类题目的特点.一见这类题目，就有必须考虑到角，边关系，如例 3,给出角的关系，要 你求r, R关系，你很自然想起正弦定理：半径与角，边关系 .正、余弦定理是角与边之间的 桥梁.关于三角形中三角运算的题目特点是很明显的，解题方法思路也很规范，希望你自已 好好体会把握一下，尤其是角与边的互换关系，是本节的重点例 4.已知函数 f（X）=tgX, （0 X 二），若已知 0 X1 X2 c二， 22证明：1 f（Xi） f（X2）“为一当）22思路分析：这是含有三角函数的不等式问题，一般有两个思考方向：1 X1 X2、，X1 X把一f（X1）+ f（X2）、f （-2）或 f（X1）+ f（X2）-2f（-一2）转化为三角2 22函数式，应用三角函数式的变化规律，对其进行整理化简，然后再给以严格的证明；X如果注意到万能公式，则可以运用变量代替，令 t = tg上，使原来含有三角函数 2的不等式，向普通代数不等式转化，然后再给予相应的证明，这样，由于思考方向的差异， 当然就会出现不同的证明方法 .证法 一：f(x i)+f(x 2)fin 然 sinx2COSXj cosx2_ sin(町 + 世)COS鳖1C0SK22殉町+町)co 炳 +x2) + ccs(x1 一町)即 1f(xi) f(X2):一则32cos(x1 x2) cos(x1 -x2)而 f()=tg3 = sin(xi M 221cos(x1x2)0 Xi 0, cosxi cosx20, 0cos(x i-x 2)1可得 0cos(x i+x2)+cos(x i-x2) SEXI +X2),得证。cos(x1x2) cos(x1 -x2)1 cos(x1 x2)证法二：设 M = f(x1)+ f (x2) 2f(x1 *x2)2= ta + tgX2-2馆 &,2i +叼、.Xi +父公=他阳tg-1+(t图2馆,uuM = tgfxL-空， (1 + tgx 擅 士卢)+ tg(x2 -受产)Q +1群魂空当二馆(巴/)。+ tgXjtg生詈)+ tg(三色)(1 + tgx 2馆巴罗)Ml 一叼上冈十功1二馆( )馆()源1 - t期d五由已知 0 :二 x1 :二 x2 :二一2tg工 0 tg)磔tgx17部 a) 乂2,2即M0XiX2)证法三：由tgx2tg 21 -tg人X1令a,X2万，2tl2t21 r r- 2f(Xi) f(X2)tl(tl Y2)(1川2)由已知0 :二x1： x21-t121-t22(1-tl )(1 -t2 )JI 一，即20 :二X1X2JI一1 一 一一可得 2f(X1) f(X2)f(0t 1t 20八X1X2/ r1 0 Ctg 一 Ctg 2t 1t2, 1-t 120即 0(1-t 12)(1-t 22)c.2) 随便代入一个值 .3) 这题中 cosAsinB 的关系是由做过无数次关于三角形中三角运算的题后印在脑里的4) 画一个单位圆