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§2.6对数与对数函数2014高考会这样考1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数复习备考要这样做1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系1 对数的概念如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数2 对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)对数的性质alogaN_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)对数的重要公式换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推广logab·logbc·logcdlogad.3 对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x1时，y0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数4. 反函数指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线_yx_对称难点正本疑点清源1 对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.2 对数函数的定义域及单调性对数函数ylogax的定义域应为x|x>0对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论3 关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较1 (2011·江苏)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_答案解析函数f(x)的定义域为，令t2x1 (t>0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间为.2 函数yloga(x3)1 (a>0且a1)的图象恒过点A，若点A在直线mxny10上(其中mn>0)，则的最小值为_答案8解析yloga(x3)1 (a>0且a1)的图象恒过点A(2，1)，A(2，1)在直线mxny10上，即2mn1.(2mn)4428，当且仅当4m2n2时取等号3 (2012·安徽)(log29)·(log34)等于 ()A. B. C2 D4答案D解析方法一原式·4.方法二原式2log23·2×24.4 (2012·重庆)已知alog23log2，blog29log2，clog32，则a，b，c的大小关系是 ()Aab<c Bab>cCa<b<c Da>b>c答案B解析alog23log2log23，blog29log2log23，ab.又函数ylogax(a>1)为增函数，alog23>log221，clog32<log331，ab>c.5 (2011·安徽)若点(a，b)在ylg x图象上，a1，则下列点也在此图象上的是 ()A. B(10a,1b)C. D(a2,2b)答案D解析由点(a，b)在ylg x图象上，知blg a.对于A，点，当x时，ylg lg abb，不在图象上对于B，点(10a,1b)，当x10a时，ylg(10a)lg 10lg a1b1b，不在图象上对于C，点，当x时，ylg 1lg a1bb1，不在图象上对于D，点(a2,2b)，当xa2时，ylg a22lg a2b，该点在此图象上.题型一对数式的运算例1计算下列各式：(1)lg 25lg 2·lg 50(lg 2)2；(2)；(3)(log32log92)·(log43log83)思维启迪：(1)lg 2·lg 50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg 2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号(3)利用换底公式，是本题的切入口解(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式···.探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧 求值：(1)；(2)(lg 5)2lg 50·lg 2；(3)lg lglg.解(1)原式.(2)原式(lg 5)2lg(10×5)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)原式lg lg 4lg(7)lg lg.题型二对数函数的图象与性质例2已知f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，设af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是 ()Ac<a<b Bc<b<aCb<c<a Da<b<c思维启迪：比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值；利用函数图象可以直观地得到各自变量的大小关系答案B解析log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47<log49,0.20.6>2>log49，又f(x)是定义在(，)上的偶函数，且在(，0上是增函数，故f(x)在0，)上是单调递减的，f(0.20.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.探究提高(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想 (1)(2012·天津)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为 ()Ac<b<a Bc<a<b Cb<a<c Db<c<a答案A解析b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故c<b<a.(2)已知函数f(x)loga(xb) (a>0且a1)的图象过两点(1，0)和(0,1)，则a_，b_.答案22解析f(x)的图象过两点(1,0)和(0,1)则f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，即.题型三对数函数的综合应用例3已知函数f(x)loga(3ax)(1)当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手解(1)a>0且a1，设y3ax，则y3ax为减函数，x0,2时，t最小值为32a，当x0,2，f(x)恒有意义，即x0,2时，3ax>0恒成立32a>0.a<又a>0且a1，a>(0,1).(2)t3ax，a>0，函数t(x)为减函数，f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat为增函数，a>1，x1,2时，t(x)最小值为32a，f(x)最大值为f(1)loga(3a)，即，故不存在探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a(0,1)，还是a(1，)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误 已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间上的值域解(1)由4x1>0，得x>0.f(x)的定义域为x|x>0(2)设0<x1<x2，则0<4x11<4x21，log4(4x11)<log4(4x21)，f(x1)<f(x2)故f(x)log4(4x1)在(0，)上为增函数(3)f(x)在(0，)上为增函数，flog40，f(2)log4(421)log415.f(x)在上的值域为0，log4154.数形结合思想在对数函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)loga(ax1) (a>0且a1)求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，)或(，0)内取值(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k>0即可规范解答证明(1)由ax1>0，得ax>1，1分当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，)，此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；3分当0<a<1时，x<0，即函数f(x)的定义域为(，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧5分函数f(x)的图象总在y轴的一侧6分(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1<x2，则直线AB的斜率k.7分y1y2loga(ax11)loga(ax21)loga，8分当a>1时，由(1)知0<x1<x2，1<ax1<ax2，0<ax11<ax21.0<<1，y1y2<0.又x1x2<0，k>0.9分当0<a<1时，由(1)知x1<x2<0，ax1>ax2>1，ax11>ax21>0.10分>1，y1y2<0.又x1x2<0，k>0.函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.12分温馨提醒说到数形结合思想，我们想到是更多的以“形”助“数”来解决问题事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想本题的易错点：找不到证明问题的切入口如第(1)问，不知道求其定义域不能正确进行分类讨论若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.方法与技巧1 指数式abN与对数式logaNb的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键2 多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过图象与直线y1交点的横坐标进行判定3 注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn·logab，logab在解题中的灵活应用失误与防范1 在运算性质logaMnnlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMnnloga|M|(nN*，且n为偶数)2 指数函数yax (a>0，且a1)与对数函数ylogax(a>0，且a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别3 解决与对数函数有关的问题时需注意两点(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.(时间：60分钟)A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1 已知xln ，ylog52，ze，则 ()Ax<y<z Bz<x<yCz<y<x Dy<z<x答案D解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.ze>，<z<1.综上可得，y<z<x.2 设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是 ()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案C解析f(a)>f(a)或或a>1或1<a<0.3 函数f(x)loga(ax3)在1,3上单调递增，则a的取值范围是 ()A(1，) B(0,1)C. D(3，)答案D解析由于a>0，且a1，uax3为增函数，若函数f(x)为增函数，则f(x)logau必为增函数，因此a>1.又yax3在1,3上恒为正，a3>0，即a>3，故选D.4 设函数f(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当x1时，f(x)ln x，则有 ()Af()<f(2)<f()Bf()<f(2)<f()Cf()<f()<f(2)Df(2)<f()<f()答案C解析由f(2x)f(x)知f(x)的图象关于直线x1对称，又当x1时，f(x)ln x，所以离对称轴x1距离大的x的函数值大，|21|>|1|>|1|，f()<f()<f(2)二、填空题(每小题5分，共15分)5 (2012·江苏)函数f(x)的定义域为_答案(0，解析要使函数f(x)有意义，则解得0<x.6 若f(x)ax，且f(lg a)，则a_.答案10或解析f(lg a)alg a，lg(alg a)lg，2lg2alg a10，lg a1或lg a，a10或a.7 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.答案4解析A(0,4，又AB，a>4.即实数a的取值范围是(4，)，c4.三、解答题(共25分)8 (12分)已知函数f(x)loga(a>0，b>0，a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性解(1)使f(x)有意义，则>0，b>0，x>b或x<b，f(x)的定义域为x|x>b或x<b(2)由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，f(x)logalogaloga1logaf(x)f(x)为奇函数9 (13分)若函数ylg(34xx2)的定义域为M.当xM时，求f(x)2x23×4x的最值及相应的x的值解ylg(34xx2)，34xx2>0，解得x<1或x>3，Mx|x<1或x>3，f(x)2x23×4x4×2x3×(2x)2.令2xt，x<1或x>3，t>8或0<t<2.f(t)4t3t232(t>8或0<t<2)由二次函数的性质可知，当0<t<2时，f(t)，当t>8时，f(t)(，160)，当2xt，即xlog2时，f(x)max.综上可知，当xlog2时，f(x)取到最大值，无最小值B组专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1 设f(x)lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是 ()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg，定义域为(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.2 已知函数f(x)，若ab，且f(a)f(b)，则ab的取值范围是 ()A(1，) B.C(2，) D.答案C解析如图，由f(a)f(b)，得.设0ab，则lg alg b0.ab1，ab22.3 (2012·青岛模拟)已知函数f(x)axlogax(a>0，a1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则a的值为 ()A. B. C2 D4答案C解析当x>0时，函数yax，ylogax的单调性相同，因此函数f(x)axlogax是(0，)上的单调函数，f(x)在1,2上的最大值与最小值之和为f(1)f(2)a2aloga2，由题意得a2aloga26loga2.即a2a60，解得a2或a3(舍去)二、填空题(每小题4分，共12分)4 函数f(x)log(x22x3)的单调递增区间是_答案(，1)解析设tx22x3，则ylogt.由t>0解得x<1或x>3，故函数的定义域为(，1)(3，)又tx22x3(x1)24在(，1)上为减函数，在(1，)上为增函数而函数ylogt为关于t的减函数，所以，函数f(x)的单调增区间为(，1)5 (2012·南京质检)若log2a<0，则a的取值范围是_答案解析当2a>1时，log2a<0log2a1，<1.1a>0，1a2<1a，a2a<0，0<a<1，<a<1.当0<2a<1时，log2a<0log2a1，>1.1a>0，1a2>1a，a2a>0，a<0或a>1，此时不合题意综上所述，a.6 设函数f(x)logax (a>0，且a1)，若f(x1x2x2 015)8，则f(x)f(x)f(x)_.答案16解析f(x1x2x2 015)loga(x1x2x2 015)8，f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogaxloga(x1x2x2 015)22loga(x1x2x2 015)16.三、解答题(13分)7 已知函数f(x)xlog2.(1)求ff的值；(2)当x(a，a，其中a(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由解(1)由f(x)f(x)log2log2log210.ff0.(2)f(x)的定义域为(1,1)，f(x)xlog2(1)，当x1<x2且x1，x2(1,1)时，f(x)为减函数，当a(0,1)，x(a，a时f(x)单调递减，当xa时，f(x)minalog2.14
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