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第三节坐标系知识梳理一、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换二、极坐标系的概念1极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系注意：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系2极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记作M(，)一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，)(R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的三、极坐标和直角坐标的互化1互化条件：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：2互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式在一般情况下，由tan 确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角四、常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，1 / 4半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(1) (R)(2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a(0),基础自测1(2013韶关二模)在极坐标系中，过点A引圆4sin 的一条切线，则切线长为_解析：将点A化为直角坐标是A(0，2)，圆的直角坐标方程为x2y24y0，圆心为(0,2)，半径为2，点A到圆心的距离为4，所以切线长为2.答案：22(2012粤西北九校联考)在极坐标系中，过圆4cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是_解析：圆的直角坐标方程为x2y24x0，圆心为(2,0)，过该点的直线的极坐标方程为cos 2.答案：cos 23(2013广州二模)在极坐标系中，已知点A，点P是曲线sin2 4cos 上任一点，设点P到直线cos 10的距离为d，则|PA|d的最小值为_解析：sin2 4cos 的直角坐标方程为y24x，它是抛物线，焦点为F(1,0)，准线为x10，即直线cos 10，点A是直角坐标为A(0,1)根据抛物线的定义，d|PF|，所以|PA|d|PA|PF|AF|.答案： 4(2012南京模拟)已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为cos 3，4cos ，则曲线C1，C2交点的极坐标为_解析：联立解方程组 0，0，解得即两曲线的交点为2，.答案：2，1(2013北京卷)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析：极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(，1)，极坐标系直线sin 2对应直角坐标系中直线方程为y2，所以点到直线y2的距离为d1.答案：12(2013天津卷)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|_.解析：由4cos 得：24cos ，化为直角坐标方程得x2y24x，即(x2)2y24，圆心C(2,0)，点P的直角坐标为P(2,2)由两点间距离公式得|CP|2.答案：21在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，)若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是_答案：(kZ)2(2012肇庆二模)在极坐标系中，曲线2与cos sin 0(0)的交点的极坐标为_解析：(法一)将2和cos sin 0化为直角坐标方程为x2y24和yx，解得(舍去)或所以交点的直角坐标为(，)所以2.因为点(，2)在第二象限，所以，交点的极坐标为.(法二)由cos sin 0得tan 1，因为0，所以，故交点的极坐标为.答案： 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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