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第七节双曲线(一)1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为|AF1|AF2|2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为1(a0，b0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(c,0)，且c2a2b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为1(a0，b0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，c)，且c2a2b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式三、双曲线的几何性质方程11图形范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，a)，B2(0，a)离心率e(e>1)e(e>1)1 / 5渐近线y±xy±xa，b，c的关系c2a2b2c2a2b2基础自测1(2013·福建卷)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1 D.解析：因为双曲线的两个顶点到两条渐近线的距离都相等，故可取双曲线的一个顶点为(1,0)，取一条渐近线为yx，所以点(1,0)到直线yx的距离为.答案：B2(2013·北京东城区)若双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r>0)相切，则r()A. B2C3 D6解析：双曲线1的渐近线方程为y±x，因为双曲线的渐近线与圆(x3)2y2r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y±x的距离等于圆的半径r，则r.答案：A3过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是_答案：1484设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·0，则|_.解析：因为F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，所以F1(，0)，F2(，0)由题意知F1PF2为直角三角形，|2|F1F2|2.答案：21(2013·辽宁卷)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_解析：由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，所以点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|QA|PA|4b16，由双曲线定义，|PF|PA|6，|QF|QA|6.所以|PF|QF|12|PA|QA|28，因此PQF的周长为|PF|QF|PQ|281644.答案：442(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：1(ab0)的两个焦点若在C上存在一点P.使PF1PF2，且PF1F230°，则C的离心率为_解析： 在RtF1F2P，设2c|F1F2|2，则|PF2|1，|PF1|，得2a|PF1|PF2|1，所以e1.答案：11(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的焦距为8，则m_.解析：因为在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距为8，所以m0，焦点在x轴，所以a2m，b2m24，所以c2m2m4，又双曲线1的焦距为8，所以：m2m416，即m2m120，解得m3或m4(舍)答案：32(2013·韶关二模)设点P是双曲线1(a0，b0)与圆x2y2a2b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tanPF2F13，则双曲线的离心率为_解析：因为圆x2y2a2b2的半径rc，所以|F1F2|是圆的直径，所以F1PF290°.依据双曲线的定义：|PF1|PF2|2a，又因为在RtF1PF2中，tanPF2F13，即|PF1|3|PF2|，所以|PF1|3a，|PF2|a，在直角三角形F1PF2中由(3a)2a2(2c)2，得e.答案： 希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
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